Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

Wir konzentrieren uns im Folgenden auf den Bereich links von B = −1 + 2C
(Tangenten-Bifurkation) und 0 ≤ B ≤ 1. Solange wir rechts von B = −1−2C
bleiben, ist F 1 stabil; links davon ist der Fixpunkt instabil, aber es gibt dann
zwei Fixpunkte der Periode 2. Ihre Berechnung sei eine Übungsaufgabe. Das
Ergebnis ist
y = − 1 + B + 2C
4
± 1 2
√ (
C + 1 + B )(
2
C − 3 1 + B
2
), x =
2Cy + 2y2
1 + B
(183)
Die Idee der Renormierung ist nun die, dass man die Umgebung eines der
Punkte der Periode 2 betrachtet und versucht, die Abbildung H 2 dort in die
gleiche (oder wenigstens ähnliche) Form zu bringen wie H in der Umgebung
des Fixpunkts F 1 . Wenn wir also setzen (x, y) = (x 2 , y 2 ) + (δx, δy), wobei
(x 2 , y 2 ) der Fixpunkt der Periode 2 ist, dann soll für die zweite Iterierte eine
Gleichung ( (
)
δ˜x
′′
)
δỹ ′′ =
δỹ
2C ′ δỹ + 2(δỹ) 2 − B ′ δ˜x
(184)
gelten, wobei zwischen (δx, δy) und (δ˜x, δỹ) noch eine Reskalierung eingeschaltet
ist. Details dieser Reskalierung schaue man bei Helleman nach. Das
Ergebnis der Auswirkung auf die Transformation der Parameter B und C ist
die Renormierung
( ) ( B
′
C ′ =
B 2
−2C 2 + 2C(1 + B) + 2B 2 + 3B + 2
)
. (185)
Dies ist die Transformation, die die Umgebung eines Punktes der Periode 2
in eine vergleichbare Umgebung des Fixpunkts F 1 transformiert. Allgemein
nehmen wir nun an, dass dieselbe Transformation von der Umgebung eines
Punktes der Periode 4 in die eines Punktes der Periode 2 führt und allgemein
von 2 n nach 2 n−1 . Man muss allerdings noch spezifizieren, welche Punkte der
jeweiligen Umgebungen als äquivalent gelten sollen. Das könnten die Bifurkationspunkte
selbst sein oder – das wird üblicherweise so gemacht – die
Punkte (B, C), bei denen die betrachteten Orbits der Periode 2 n superstabil
sind, d. h. der Realteil des Eigenwerts λ verschwindet.
Sei also C n (B) der Wert von C bei gegebenem B, für den Re(λ 1,2 ) = 0. Unter
der Annahme, dass die Folge dieser Werte geometrisch konvergiert,
C n−1 (B) − C n (B)
C n (B) − C n+1 (B)
= δ, (186)
jedenfalls für große n (in der Realität ist δ schon bei kleinen n das asymptotische),
kann man dieses δ nun aus der Renormierungs-Transformation
115