Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

während der numerisch bestimmte Wert −1.2663... ist.
Um was für Fixpunkte handelt es sich? Die linearisierte Renormierungs-
Abbildung ist allgemein
(
)
∂(B ′ , C ′ )
∂(B, C) = 2B 0
, (195)
2C + 4B + 3 2(1 + B) − 4C
und bei (B, C) = (0, C ∞ (0)) ist dies
(
)
0 0
(7 − √ 17)/2 1 + √ . (196)
17
Die Eigenwerte sind 0 und 1 + √ 17, es gibt also eine Richtung, in der der
Fixpunkt superattraktiv ist, das ist die Richtung
( ) ( √ )
δB −(1 + 17)
=
δC (7 − √ , (197)
17)/2
und eine andere, nämlich (δB, δC) = (0, 1), in der er hyperbolisch ist mit
Eigenwert 1 + √ 17 = 5.12....
Am Fixpunkt (B, C) = (1, C ∞ (1)) ist die linearisierte Abbildung
(
)
2 0
(17 − √ 65)/2 1 + √ . (198)
65
Hier sind die Eigenwerte 2 und 1 + √ 65, beide Eigenrichtungen sind also
repulsiv. Die eine, zum Eigenwert 2, ist
( ) ( √ )
δB −(1 + 65)
=
δC (17 − √ , (199)
65)/2
die andere ist wieder (δB, δC) = (0, 1); es wird also bei festem B = 1 der
Abstand C − C ∞ (1) um den Faktor 1 + √ 65 = 9.06... vergrößert.
Die Eigenwerte 1 + √ 17 bzw. 1 + √ 65 sind aber gerade die Faktoren, um
die sich analoge Bereiche, also etwa die Abstände zwischen Punkten mit superstabilen
Attraktoren, vergrößern. Das kann man sich klar machen, indem
man die geometrische Annäherung an den asymptotischen Wert C ∞ (B) wie
folgt ausdrückt,
C n (B) = C ∞ (B) + D n (B) = g(B, C ∞ (B 2 ) + D n−1 (B 2 ))
= g(B, C ∞ (B 2 )) + ∂g
∂C ∣ D n−1 (B 2 ),
C=C∞(B 2 )
(200)
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