Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

wurde durch eine Arbeit von D. Ruelle und F. Takens zerstört (On the nature
of turbulence, Comm. Math. Phys. 20(1971), 167-192), in der Satz bewiesen
wurde, dass in jeder Umgebung eines Vektorfeldes auf dem Torus T n , n ≥ 3,
Vektorfelder liegen, die robustes chaotisches Verhalten zeigen (Vektorfelder
mit sog. ”
Axiom A attractor“). Zwar stellte sich später heraus, dass das nicht
allzu viel bedeutet, denn es kommt immer darauf an, wie groß die Menge der
Felder mit chaotischer Dynamik relativ zu denen mit regulärer Dynamik ist,
aber Anfang der 70er Jahre hatte diese Arbeit einen enormen Einfluss. Sie
setzte das Suchen nach Szenarien des Übergangs zum Chaos in Gang, genauer:
nach universellen Szenarien. Der Begriff ”
universell“ in diesem Zusammenhang
stammte aus der Renormierungstheorie der Phasenübergänge, die
damals gerade entwickelt wurde; er meint die Tatsache, dass gewisse qualitative
Szenarien, aber auch einige quantitative Aspekte (wie kritische Indizes)
unabhängig sind von Details des Systems und nur von einigen wenigen Parametern
abhängen.
Im Zusammenhang mit dem Übergang zum Chaos war die Entdeckung der
Universalität des Szenarios der Perioden-Verdopplung (Myrberg 1962, Lorenz
1963, May 1967, Grossmann u. Thomae 1977, Feigenbaum 1978) von herausragender
Bedeutung. Niemand hatte damit gerechnet, dass so etwas wie die
Periodenverdopplung durch universelle Zahlen wie die Feigenbaum-Zahlen δ
und α charakterisiert ist, die von Einzelheiten der Systeme unabhängig sind
(nur etwa bei dissipativen Systemen anders sind als bei konservativen; mehr
darüber vielleicht später). Es wurde bald danach von Pomeau und Manneville
(1980) ein zweites, ganz anders geartetes Szenario des Übergangs zum Chaos
identifiziert, das mit dem Begriff Intermittenz bezeichnet wurde. Hierbei handelt
es sich um ein aus der Turbulenz bekanntes Phänomen, dass nämlich ein
intermittierendes Ausbrechen“ von kürzeren oder längeren Wirbelzügen aus
”
der regulären laminaren Strömung passiert. In der Sprache der logistischen
Abbildung ist es das Auftreten einer Bifurkation, bei der durch tangentiale
Berührung des Graphen f(x) mit der Diagonalen aus dem Nichts“ zwei Fixpunkte
auftreten, einer davon stabil. Kurz nach dessen Verschwinden unter
”
Parametervariation verhält sich das System immer noch für längere Zeiten
regulär, bricht aber gelegentlich aus, ehe es wieder in die Nähe des ehemals
stabilen Fixpunkts zurückkehrt. Das dritte Szenario wird vor allem in Hamiltonschen
Systemen beobachtet: der Übergang ins globale Chaos durch Zerfall
eines letzten noblen KAM-Torus“. Man spricht vom Szenario des quasiperiodischen
Verhaltens. Vieles Eigenschaften dieses Verhaltens finden sich in
”
denen der oben diskutierten Siegel-Disks wieder.
Und dies bringt uns zurück zur Mandelbrot-Menge M. Wir wollen sie als
22