Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

Abbildung 10: Invariante Mannigfaltigkeiten des hyperbolischen Fixpunkts (π, 1)
der Standard-Abbildung (95). Rot und magenta: stabile, blau und grün: instabile
Mannigfaltigkeit. Links: 5 Iterationen der Eigenvektoren in einer linearen Umgebung.
Rechts: 7 Iterationen.
Abbildung 11: 8 und 9 Iterationen.
Im rechten Teilbild der Abb. 10 sind noch zwei weitere Iterationen angehängt.
Man sieht, wie die invarianten Mannigfaltigkeiten als eindimensionale Gebilde
aus dem ”
linearen Keim“ hervorgehen, wie sie sich unter dem Einfluss der
Nichtlinearitäten allmählich verbiegen und schneiden. Es kann allerdings nur
Schnitte der stabilen Mf mit der instabilen geben. Schnitte der stabilen Mf
mit sich selbst oder der instabilen mit sich selbst sind wegen der Eindeutigkeit
der Abbildungsvorschrift verboten (man überlege sich, dass ein Punkt,
der Schnittpunkt einer solchen Mf mit sich wäre, nicht ”
wüsste“, wohin er abgebildet
wird). Die Schnittpunkte nennt man homokline Punkte, insofern sie
sowohl vorwärts als auch rückwärts auf denselben hyperbolischen Fixpunkt
zulaufen. Ihre Existenz hat weitreichende Konsequenzen. Es folgt nämlich
sofort, dass es unendlich viele weitere Schnittpunkte geben muss, denn das
60