Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

und den zugehörigen Gleichungen
p r = ∂F 2
∂r = ˜p r, p φ = ∂F 2
∂φ = ˜p φ, ˜r = ∂F 2
∂ ˜p r
= r, ˜φ =
∂F 2
∂ ˜p φ
= φ−t, (140)
sowie ˜H = H +∂F 2 /∂t = H − ˜p φ erfolgen. Nach dieser Transformation lassen
wir die Tilde wieder weg und nennen den Polarwinkel im rotierenden System
ϕ = φ − t. Die neue Hamilton-Funktion hat jetzt die Gestalt
H = 1 2 p2 r + 1
2r 2 (p ϕ − r 2 ) 2 − 1 r − 1 2 r2 = 1 2 p2 r + 1
2r 2 p2 ϕ − p ϕ − 1 r
(141)
(in der ersten Version erkennt man das Jacobi-Potential und das Vektorpotential
der Corioliskraft). Die Erhaltungsgrößen sind wieder H und p ϕ ; ihre
Werte sind E J = E − L bzw. L, wobei E und L Energie und Drehimpuls
eines Orbits im Inertialsystem sind.
Die Bewegungsgleichungen für r und ϕ sind fast dieselben geblieben,
√
ṙ = p r = 2(E J + L) + 2 r − L2
r , ˙ϕ = L − 1. (142)
2 r2 Integration über eine r-Periode gibt wieder das Resultat T = 2πa 3/2 . Die ϕ-
Gleichung enthält den Zusatzterm −1, so dass der Winkelfortschritt während
einer Periode sich aus
∮
∆ϕ =
L − r 2
r √ 2Er 2 + 2r − L 2 = 2π(±1 − a3/2 ) (143)
ergibt. Damit ist also die Windungszahl W = ∆ϕ/2π = ±1 − a 3/2 .
Zuletzt berechnen wir noch die Wirkungen. Für die Winkelbewegung ist wegen
p ϕ = const I ϕ = p ϕ = L. Die Wirkung der Radialbewegung ist
I r = 1 ∮
p r dr = 1 ∮ √2Er2
+ 2r − L dr
2π 2π
2 r . (144)
Zur Auswertung muss man wieder die beiden Pole bei r = 0 und r = ∞ mit
ihren Residuen betrachten. Das Ergebnis ist
I r =
1
√
−2(EJ + L) − |L| = √ a − |L| ⇒ E J =
−1
2(I r + |L|) 2 − L.
(145)
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