Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

Es ist typisch für integrable Systeme, dass der Phasenraum Energieflächen
unterschiedlichen topologischen Typs hat. Die Übergänge finden hier bei
L = 0 und E J = −1.5 statt. Wir diskutieren hier nicht, welchen Typ die
Energieflächen haben; jedenfalls sind sie alle nicht kompakt, insofern entweder
der Punkt (x, y) = (0, 0) des Konfigurationsraums dazu gehört (bei den
Stoßbahnen, mit divergierendem Impuls) oder die unendlich weit entfernte
Linie, zu der die Parabelbahnen führen.
Abbildung 23: E J -Niveaulinien in der Ebene der Wirkungen. Abszisse I ϕ = L,
Ordinate I r . Die Werte von E J sind, von links nach rechts, −0.5, −0.75, −1, −1.25
(die vier roten Kurven), dann −1.5 (die schwarze Kurve) und schließlich −1.75 und
−2 (die blauen Kurven, die auf der Linie I r = 0 unterbrochen sind).
Die Gleichungen (147) und (148) geben an, wie die Windungszahl W bei
festem E J von der Wirkung I r abhängt. In Abb. 24 werden links die im Inertialsystem
rückläufigen Bahnen gezeigt; sie bilden einen Bereich qualitativ
gleichartiger Kurven, bei dem mit sinkendem E J die Bewegung in dem Sinne
immer keplerartiger“ wird, als W immer weniger von I ” r abhängt. Die einzelnen
Linien werden unten wieder von Kreisbahnen (I r = 0) und oben von
Stoßbahnen (W = −1 − Ir 3 ) begrenzt. Im rechten Teil sind die Bahnen mit
L > 0 repräsentiert; wir erkennen die oben beschriebenen drei Bereiche 2.
bis 4. wieder. Die Familie der roten Bahnen beginnt (falls −1.5 < E J < 0.5)
mit Stoßbahnen (W = 1 − Ir 3 ) bei positiven Windungszahlen, durchläuft bei
W = 0 ein Minimum der Wirkung I r und wechselt dann zu negativen W ,
wobei I r über alle Grenzen wächst (bis hin zu Parabelbahnen, die einen
Perihel-Durchgang mit ˙ϕ > 0 haben). Oberhalb von E J = −0.5 gibt es in
dieser Familie nur negative Windungszahlen. Der rechte Bereich mit blauen
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