¨Ubungsblatt 1

4 Eigenvektoren unitärer Matrizen zu verschiedenen Eigenwerten sind immer orthogonal
zueinander.
Lösung:
Wahr. Denn seien v und w Eigenvektoren des unitären Endomorphismus ϕ zu
den Eigenwerten λ und ρ. Dann gilt
○ Wahr /○ Falsch
(λ − ρ)〈v,w〉 = 〈ϕ(v),w〉 − 〈v,ϕ −1 (w)〉 = 0.
Hierbei haben wir verwendet, dass (ϕ(w) = ρw) ⇒ (ϕ −1 (w) = ρ −1 w = ¯ρw), da
Eigenwerte unitärer Endomorphismen immer den Betrag 1 haben.
5 Jedes Element in SO(2n) (für alle 1 ≤ n ∈ N) hat mindestens einen Eigenwert.
Lösung:
Falsch. Jede nichtriviale Drehmatrix in SO(2) hat keinen (reellen) Eigenwert.
6 Sei β ∈ Bil(V,V ) eine (möglicherweise ausgeartete) Bilinearform auf V und sei
ϕ ∈ End(V ) orthogonal bezüglich β.
Dann ist ϕ injektiv.
Lösung:
Falsch. Wenn β ausgeartet ist folgt dies nicht. Sei z.B. β die triviale Bilinearform,
die immer den Wert Null annimmt. Dann sind alle Endomorphismen von
V orthogonal bezüglich β.
7 Sei β ∈ Bil(V,V ) eine nicht ausgeartete Bilinearform auf V und sei ϕ ∈ End(V )
orthogonal bezüglich β.
Dann ist ϕ injektiv.
Lösung:
Wahr. Angenommen es gibt 0 ≠ v ∈ ker(ϕ), so gilt für alle w ∈ W β(ϕ(v),w) = 0.
Andererseits gibt es, da β nicht entartet sein soll, ein w 0 ∈ W mit
○ Wahr /○ Falsch
○ Wahr /○ Falsch
○ Wahr /○ Falsch
0 ≠ β(v,w 0 ) = β(ϕ(v),ϕ(w 0 )) ,
was ein Widerspruch ist.
8 Sei ϕ ein orthogonaler Endomorphismus von V = R n , versehen mit dem Standardskalarprodukt.
Wir können ϕ auch als Endomorphismus von C n auffassen.
Dann ist ϕ unitär bezüglich des Standardskalarproduktes auf C n .
Lösung:
Wahr. Wähle z.B. die Standardbasis von R n . ϕ wird in dieser durch eine reelle
Matrix M dargestellt, für die gilt M t M = E n .
Auch als Endomorphismus von C n wird ϕ durch die Matrix M dargestellt, die
wir nun als eine Matrix in M(n × n,C) auffassen, deren Einträge alle reell sind.
Diese hat also die spezielle Eigenschaft ¯M = M. Es folgt, dass
○ Wahr /○ Falsch
M ∗ M = ( ¯M) t M = M t M = E n .