¨Ubungsblatt 1

1.4 F ∗ ist genau dann invertierbar, wenn F invertierbar ist.
○ Wahr /○ Falsch
Lösung: Wahr.
Das folgt aus der vorigen Aufgabe. Expliziter: Sei F −1 das Inverse zu F, dann
folgt mit Lemma 5.1.11 aus der Vorlesung, dass (F ∗ ) −1 = (F −1 ) ∗ gilt, denn
(F −1 ) ∗ ◦ F ∗ = (F ◦ F −1 ) ∗ = (Id W ) ∗ = Id W ∗
F ∗ ◦ (F −1 ) ∗ = (F −1 ◦ F) ∗ = (Id V ) ∗ = Id V ∗ .
Sei nun V = W, also F und F ∗ Endomorphismen.
1.5 F ∗ ist genau dann trigonalisierbar, wenn F trigonalisierbar ist.
○ Wahr /○ Falsch
Lösung: Wahr.
Folgt aus Satz 5.1.12 der Vorlesung: In dualen Basen sind die darstellenden Matrizen
von F und F ∗ zueinander transponiert.
F ∗ ist genau dann diagonalisierbar, wenn F diagonalisierbar ist.
○ Wahr /○ Falsch
Lösung: Wahr.
Folgt aus Satz 5.1.12 der Vorlesung: In dualen Basen sind die darstellenden Matrizen
von F und F ∗ zueinander transponiert.
1.6 F und F ∗ haben stets das gleiche charakteristische Polynom.
○ Wahr /○ Falsch
Lösung: Wahr.
Folgt aus Satz 5.1.12 der Vorlesung: In dualen Basen sind die darstellenden Matrizen
von F und F ∗ zueinander transponiert. Das charakteristische Polynom
gewinnt man aus der Determinante der darstellenden Matrix. Deren Wert ändert
sich nach Satz 3.2.10 der Vorlesung nicht unter Transposition.
1.7 F und F ∗ haben stets das gleiche Minimalpolynom.
○ Wahr /○ Falsch
Lösung: Wahr.
Der Annulator von F ist gleich dem von F ∗ , denn mit P(A) = 0 folgt auch 0 =
(P(A)) t = P(A t ).
1.8 F sei nilpotent. Ist dann auch F ∗ nilpotent?
○ Wahr /○ Falsch
Lösung: Wahr.
Das folgt aus Lemma 5.1.11 der Vorlesung, wonach (F ∗ ) n = (F n ) ∗ .
F ∗ sei nilpotent. Ist dann auch F nilpotent?
○ Wahr /○ Falsch
Lösung: Wahr.
Das folgt aus Lemma 5.1.11 der Vorlesung, wonach (F ∗ ) n = (F n ) ∗ .