¨Ubungsblatt 1

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

Übungsblatt 2 zur Vorlesung Lineare Algebra und Analytische Geometrie II im Sommersemester 2008 Christoph Schweigert Erstellt am 14.04.2008, 15:25 Uhr für Matrikelnummer CHECKING ALL VARIANTS. Abgabezeitpunkt ist 14.04.2008, 08:00 Uhr. 1 Es sei K ein Körper und M,N ∈ M(n × n,K) für ein n ∈ N. Die Einträge der Matrix M seien mit m i, j für (1 ≤ i, j ≤ n) bezeichnet. Sind die folgenden Aussagen über Determinanten richtig? 1 Ist M eine untere Dreiecksmatrix, dann ist die Determinante von M gleich dem Produkt der Diagonalelemente. Ist ein Diagonalelement von M gleich 0, dann ist die Determinante von M auch gleich 0. ○ Ja /○ Nein ○ Ja /○ Nein 2 Es gilt (det M) · (det N) = det(M · N). ○ Ja /○ Nein Es gilt (det M) + (det N) = det(M + N). ○ Ja /○ Nein 3 Ist m i, j = 0 für i + j > n + 1, dann ist det M = ∏ n i=1 m i,n+1−i. ○ Ja /○ Nein Ist m i, j = 0 für i + j ≤ n, dann ist det M = ∏ n i=1 m i,n+1−i. 4 Enthält M nur die Zahlen 0 und 1, dann ist die Determinante von M auch entweder 0 oder 1. Enthält M nur die Zahlen 0 und 1, dann ist die Determinante von M in der Menge {0,1,−1}. ○ Ja /○ Nein ○ Ja /○ Nein ○ Ja /○ Nein 5 Sind zwei Zeilen von N gleich, so ist det N = 0. ○ Ja /○ Nein Ist eine Zeile von N das Negative einer anderen Zeile von N, dann ist det N = 0. ○ Ja /○ Nein 2 Alle vorkommenden Matrizen haben Einträge in einem Körper K. Sind die folgenden Aussagen wahr? 1 Der Zeilenrang einer Matrix ist gleich ihrem Spaltenrang. ○ Ja /○ Nein 2 Eine n×n-Matrix mit vollem Rang läßt sich durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen in die Einheitsmatrix überführen. 3 Der Zeilenrang einer Matrix ist gleich der Dimension des Raums, der von den Spaltenvektoren aufgespannt wird. 4 Der Spaltenrang einer Matrix ist gleich der Dimension des Raums, der von den Zeilenvektoren aufgespannt wird. 5 Die Dimension des Lösungsraums eines homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0 ist gleich der Differenz der Anzahl der Unbekannten und dem Rang der Matrix A. 6 Es sei A eine quadratische Matrix. Dann hat das lineare Gleichungssystem Ax = 0 genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Matrix A invertierbar ist. ○ Ja /○ Nein ○ Ja /○ Nein ○ Ja /○ Nein ○ Ja /○ Nein ○ Ja /○ Nein 7 Für 0 ≠ c ∈ K und eine Matrix A haben A und c · A den gleichen Rang. ○ Ja /○ Nein 8 Eine invertierbare n × n-Matrix hat den Rang n. ○ Ja /○ Nein 3 Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen:
1 ⎛ ⎞ 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 ⎜ ⎟ ⎝ 1 1 1 0 1 ⎠ 1 1 1 1 0 Lösung: Man kann von der zweiten bis fünften Zeile die erste Zeile abziehen, ohne den Wert der Determinante zu verändern, und erhält die Matrix: ⎛ ⎞ 0 1 1 1 1 1 −1 0 0 0 1 0 −1 0 0 ⎜ ⎟ ⎝ 1 0 0 −1 0 ⎠ 1 0 0 0 −1 Nun addiert man zur ersten Zeile die Summe der letzten vier Zeilen, wiederum ohne den Wert der Determinante zu ändern, und erhält die Matrix ⎛ ⎞ 4 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 0 −1 0 0 ⎜ ⎟ ⎝ 1 0 0 −1 0 ⎠ 1 0 0 0 −1 deren Determinante offensichtlich gleich 4 ist, wie man durch Entwicklung nach der ersten Zeile sieht.
Seite 1 und 2: Übungsblatt 1 zur Vorlesung Linear
Seite 3 und 4: 4 (10 Punkte) Sei K ein Körper und
Seite 5: 7 (15 Punkte) Sei V ein endlich dim
Seite 9 und 10: (a) −x 3 − 3x + 2 (b) −(x −
Seite 11 und 12: 6 (15 Punkte) Im R 3 seien die beid
Seite 13 und 14: 9 Sei K ein Körper und sei A ∈ M
Seite 15 und 16: Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Ja’] Ex 1,
Seite 17 und 18: 2 Genau dann gilt für alle A,B,C,D
Seite 19 und 20: 1 Sind v 1 ≠ v 2 Elemente von V u
Seite 21 und 22: 5 (15 Punkte) Sei K ein Körper und
Seite 23 und 24: 8 (15 Punkte): Es sei I eine Indexm
Seite 25 und 26: Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Nein’] Ex
Seite 27 und 28: a i, j = 2 · i · j. Lösung: Die
Seite 29 und 30: 3 Ist det ( A −B B A ) ○ Ja /
Seite 31 und 32: 6 Schreiben Sie die folgenden inver
Seite 33 und 34: 8 Die folgende Aufgabe soll Ihnen z
Seite 35 und 36: Ex 1, Qu 1, Var 1: [’2’] Ex 1,
Seite 37 und 38: ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 2
Seite 39 und 40: 1 Wenn die Dimension von V gleich n
Seite 41 und 42: 7 Sei K ein Körper. Wir betrachten
Seite 43 und 44: Ex 1, Qu 1, Var 1: [’+1’] Ex 1,
Seite 45 und 46: Falls K = R und n = 6 ist, so hat
Seite 47 und 48: 3 A und A t haben die gleichen Eige
Seite 49 und 50: 7 (10 Punkte) Gegeben sei die Matri
Seite 51 und 52: Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Ja’] Ex 1,
Seite 53 und 54: Zu einer reellen Zahl α betrachten
Seite 55 und 56: 3 Es sei K = F 3 und V ein 4-dimens
Seite 57 und 58:
7 Gibt es für n = 2 zu jedem µ
Seite 59 und 60:
8 (5 Punkte) Diagonalisieren Sie si
Seite 61 und 62:
Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Nein’] Ex
Seite 63 und 64:
3 Wieviele Matrizen M ∈ M(2×2,F
Seite 65 und 66:
1 Ist für jeden Eigenwert λ von
Seite 67 und 68:
5 (5 Punkte) Sei K ein beliebiger K
Seite 69 und 70:
9 (Lösung der vorigen Aufgabe) Lö
Seite 71 und 72:
Übungsblatt 9 zur Vorlesung Linear
Seite 73 und 74:
1.9 Sei V unendlichdimensional. Dan
Seite 75 und 76:
a ∗ 1 (c 2) Lösung: -3. Aus 0 =
Seite 77 und 78:
4 (5 Punkte) ⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
Seite 79 und 80:
6 Es seien K ein Körper und n ∈
Seite 81 und 82:
9 Dies ist die Lösung zur vorherig
Seite 83 und 84:
Übungsblatt 10 zur Vorlesung Linea
Seite 85 und 86:
6 Sei V ein reeller Vektorraum und
Seite 87 und 88:
4 Die Matrix in M(3 × 3,R) liegt i
Seite 89 und 90:
5 (5 Punkte) Sei K ein Körper, in
Seite 91 und 92:
9 Sei B := ( 1 2√ 2,cosx,sinx,cos
Seite 93 und 94:
11 Lösung zu Aufgabe 9: i) Die ang
Seite 95 und 96:
Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Falsch’] E
Seite 97 und 98:
Gehört die Matrix ( √ 12 + 3 2 i
Seite 99 und 100:
3 Sei V ein unitärer Vektorraum. S
Seite 101 und 102:
4 Sei (V,〈·,·〉) ein euklidisc
Seite 103 und 104:
7 Es sei V = R 3 , ϕ : V → V lin
Seite 105 und 106:
10 Fortsetzung der Lösung zu Aufga
Seite 107 und 108:
Den Abgabeschluß der multiple choi
Seite 109 und 110:
Übungsblatt 12 zur Vorlesung Linea
Seite 111 und 112:
11 Sei W der Vektorraum der unendli
Seite 113 und 114:
4 (12 Punkte) Wir betrachten Diagon
Seite 115 und 116:
6 (10 Punkte) Sei K ein Körper und
Seite 117 und 118:
8 Lösung zur vorherigen Aufgabe: (
Seite 119 und 120:
Übungsklausur zur Vorlesung Linear
Seite 121:
11 Die folgende Matrix hat das char
Alle anzeigen

¨Ubungsblatt 1

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?