¨Ubungsblatt 1

7 (10 Punkte) Es sei K ein Körper und es seien a 1 ,...a n ∈ K für n ∈ N. Sei
⎛
d n (a 1 ,...a n ) = det
⎜
⎝
⎞
a 1 1 0
−1 a 2 1 0
0 −1 a 3 1
−1 . . .
.
0
.. ⎟ 1 ⎠
−1 a n
Zeigen Sie:
Für n ≥ 3 ist
d n−1 (a 2 ,...,a n )
d n (a 1 ,...,a n )
=
1
a 1 +
1
a 2 + 1
a 3 + 1
. ..+ 1
a n−1 + 1 an
Lösung:
Mit Induktion. Induktionsanfang n = 3:
Es ist d 3 (a 1 ,a 2 ,a 3 ) = a 1 a 2 a 3 + a 1 + a 3 und d 2 (a 2 ,a 3 ) = a 2 a 3 + 1. Wir rechnen
1
a 1 + 1
a 2 + 1
a 3
=
1
a 1 + a 3
a 2 a 3 +1
a 2 a 3 + 1
=
a 1 a 2 a 3 + a 1 + a 3
durch Erweitern der Brüche.
Induktionsschritt:
Wir berechnen d n (a 1 ,...a n ) durch Entwicklung nach der ersten Spalte:
d n (a 1 ,...a n ) = a 1 d n−1 (a 2 ,...,a n ) + d n−2 (a 3 ,...,a n )
Jetzt teilen wir d n−1 (a 2 ,...,a n ) durch beide Seiten dieser Gleichung:
d n−1 (a 2 ,...,a n )
d n (a 1 ,...a n )
=
d n−1 (a 2 ,...,a n )
a 1 d n−1 (a 2 ,...,a n ) + d n−2 (a 3 ,...,a n ) = 1
a 1 + d n−2(a 3 ,...,a n )
d n−1 (a 2 ,...,a n )
wobei wir auf der rechten Seite mit d n−1 (a 2 ,...,a n ) gekürzt haben. Nach Induktionsvoraussetzung ist
ein Kettenbruch.
d n−2 (a 3 ,...,a n )
d n−1 (a 2 ,...,a n )