¨Ubungsblatt 1

7 (10 Punkte) Gegeben sei die Matrix
⎛
A = ⎜
⎝
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 2 0 −2
⎞
⎟ ∈ M(4 × 4,Q).
⎠
Bestimmen Sie alle Eigenwerte und alle Eigenräume von A.
Lösung:
Das charakteristische Polynom von A errechnet sich zu (X + 1) 3 (X − 1), also ist +1 Eigenwert der algebraischen
Vielfachheit 1 und −1 Eigenwert der algebraischen Vielfachheit 3.
Ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist (1,1,1,1), also ist Eig(A,1) = span Q (1,1,1,1). Ein Eigenvektor
zum Eigenwert −1 ist (1,−1,1,−1). Weitere linear unabhängige Eigenvektoren gibt es nicht, damit ist
Eig(A,−1) = span Q (1,−1,1,−1).
8 (5 Punkte) Es sei K ein Körper, n ∈ N und A ∈ M(n × n,K).
Zeigen Sie: Es existiert ein Polynom 0 ≠ f ∈ K[X] mit grad( f ) ≤ n 2 , für das f (A) = 0 ∈ M(n × n,K) ist.
Lösung: Die Dimension des Vektorraumes M(n × n,K) ist n 2 . Für jedes A ∈ M(n × n,K) muss daher die
Familie von Matrizen
(E n ,A,A 2 ,A 3 ,···,A n2 )
linear abhängig sein, da sie mehr als n 2 Elemente enthält. D. h. es existieren Elemente c i ∈ K, die nicht
alle gleich 0 sind, so dass
c 0 E n + c 1 A + c 2 A 2 + ··· + c n 2A n2 = 0.
Daher ist
ein Polynom mit den gesuchten Eigenschaften.
c 0 + c 1 X + c 2 X + ··· + c n 2X n2 ∈ K[X]