¨Ubungsblatt 1

4 Geben Sie das Signum der folgenden Permutationen an (ohne Rechnung).
(
)
1 2 3 4 5 6
(
3 2 1 6 5 4
1 2 3 ... ... ... ... 4n − 2 4n − 1 4n
4n 4n − 1 4n − 2 ... ... ... ... 3 2 1
5 Wie lautet bezüglich der Standardbasis des R 2 die darstellende Matrix der Spiegelung an derjenigen Ursprungsgeraden,
die mit der positiven Richtung der x-Achse einen Winkel von π 3
gegen den Uhrzeigersinn
einschließt? 1 Punkt für die Angabe der allgemeinen Spiegelungsmatrix für einen Winkel α und die Rechnung
mit α = π 3 .
a) ( √
12
− 3
√
3
2
1
2
2
)
)
○ a /○ b /○ c
b) (
−
2
1 √
3
2
√ )
3
2
1
2
c) (
12
√
3
2 √
3
2
− 1 2
)
6 Geben Sie die Eigenwerte der folgenden reellen Matrix an (ohne Rechnung). Sie bekommen einen Punkt
für die Angabe des charakteristischen Polynoms und einen Punkt für die Angabe der Eigenwerte.
⎛
⎜
⎝
1 0 0
17 −2 5
25 1 2
7 Geben Sie einen Eigenvektor zum Eigenwert -3 der folgenden reellen Matrix an
(ohne Rechnung):
⎛
⎞
−1 1 2
⎜
⎟
⎝ 1 −1 1 ⎠.
2 1 −1
⎞
⎟
⎠
8 Sei f ∈ R[x] ein reelles Polynom vom Grad neun.
Kann f mit Vielfachheit gerechnet acht reelle Nullstellen haben? Sie bekommen
2 Punkte für die richtige Begründung.
○ Ja /○ Nein
9 Sei K ein Körper und seien n,m natürliche Zahlen. Sei ϕ : K n → K m eine lineare Abbildung.
Wenn n = m ist, kann ϕ dann injektiv, aber nicht surjektiv sein?
1 Punkt für die Begründung
10 Sei K ein Körper. Wir betrachten M(2 × 2,K).
Gilt
det
(
a
sc
sb
d
)
= sdet
für alle s ∈ K?
1 Punkt für die Begründung oder ein Gegenbeispiel.
(
a
c
b
d
)
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein