¨Ubungsblatt 1

11 Lösung zu Aufgabe 8:
i) Klar (Die Eigenschaft J 2 = −id V wird nur für die Bedingung (αβ)v = α(βv) mit α,β ∈ C und v ∈ V
gebraucht).
ii) Wir wenden die Determinante auf J 2 = −id V an und erhalten det(J) 2 = (−1) n . Da det(J) ∈ R, muss
n gerade sein. Sei B = (b 1 ,...,b n ) eine C-Basis des komplexen Vektorraums V . Dann ist ˜B :=
(b 1 ,J(b 1 ),...b n ,J(b n )) eine R-Basis. Denn die Familie ist über R linear unabhängig: die Gleichung
n
∑
i=1
λ i b i + µ i J(b i ) = 0
mit reellen Koeffizienten λ i ,µ ist mit r i := λ i + iµ i ∈ C offenbar äquivalent zur komplexen Linearkombination
n
r i b i = 0 ,
aus der r i = 0 und somit λ i = µ i = 0 folgt. Da sich jedes Element aus V in der Form
∑
i=1
v =
n
∑
i=1
r i b i
mit r i ∈ C schreiben lässt, also mit r i := λ i + iµ i in der Form
v =
n
∑
i=1
ist auch klar, dass ˜B ein R-Erzeugendensystem ist.
iii) R-Bilinearität ist klar. Symmetrie folgt aus
Orthogonalität von J bezüglich ω folgt aus
λ i b i + µ i J(b i )
〈w,v〉 ≡ ω(w,Jv) = −ω(Jv,w)
= −ω(JJv,Jw) = ω(v,Jw) ≡ 〈v,w〉.
〈Jv,Jw〉 ≡ ω(Jv,JJw) = −ω(Jv,w) = −ω(JJv,Jw)
= ω(v,Jw) ≡ 〈v,w〉.
iv) Hermitizität, h(w,v) = h(v,w), folgt aus der Symmetrie von 〈·,·〉 und der Antisymmetrie von ω(·,·).
Wegen h(v,v) = 〈v,v〉 ist für eine kalibrierte komplexe Struktur h auch positiv definit.
Sesquilinearität folgt aus
und
h(i · v,w) = h(Jv,w) = ω(Jv,Jw) − iω(Jv,w) = ω(v,w) + iω(v,Jw)
= ih(v,w)
h(v,i · w) = h(v,Jw) = ω(v,JJw) − iω(v,Jw) = −ω(v,w) − iω(v,Jw)
= −ih(v,w).