¨Ubungsblatt 1

Übungsblatt 7
zur Vorlesung Lineare Algebra und Analytische Geometrie II im Sommersemester 2008
Christoph Schweigert
Erstellt am 09.06.2008, 14:25 Uhr für Matrikelnummer CHECKING ALL VARIANTS. Abgabezeitpunkt ist
02.06.2008, 08:00 Uhr.
1 Es sei K ein beliebiger Körper und K[X] der Polynomring über K in der Unbestimmten X. Sind die folgenden
Aussagen richtig?
1 Zwei verschiedene Polynome in K[X] vom Grad 1 sind teilerfremd; d.h. es gibt
kein Polynom vom Grad größer gleich 1, das die beiden Polynome teilt.
Lösung: Nein. Gegenbeispiel: 2X und X haben den gemeinsamen Teiler X.
Zwei verschiedene normierte Polynome in K[X] vom Grad 1 sind teilerfremd;
d.h. es gibt kein Polynom vom Grad größer gleich 1, das die beiden Polynome
teilt.
Lösung: Ja. Normierte Polynome vom Grad 1 haben die Form X + a. X + a
und X + b können höchstens einen gemeinsamen Teiler der Form cX + d haben
(c ≠ 0). Man prüft leicht, dass dies nur für d = ac = bc und somit a = b möglich
ist.
2 In K[X] gibt es irreduzible Polynome, d.h. Polynome, die sich nicht als Produkt
zweier nichtkonstanter Polynome schreiben lassen.
Lösung: Ja. Jedes Polyom vom Grad 1 ist irreduzibel.
3 Wenn ein Polynom f ∈ K[X] unendlich viele Nullstellen hat, dann ist f das
Nullpolynom.
Lösung: Ja. Nach Lemma 4.2.11 der Vorlesung trägt jede Nullstelle einen Linearfaktor
zum Polynom bei. Kein nichttriviales Polynom von endlichem Grad
kann also unendlich viele Nullstellen haben.
Jedes Polynom 0 ≠ f ∈ K[X] hat nur endlich viele Nullstellen.
Lösung: Ja. Nach Lemma 4.2.11 der Vorlesung trägt jede Nullstelle einen Linearfaktor
zum Polynom bei. Kein nichttriviales Polynom von endlichem Grad
kann also unendlich viele Nullstellen haben.
4 Jedes nicht-konstante Polynom hat eine Nullstelle in K.
Lösung: Nein. Gegenbeispiel: X 2 + 1 ∈ R[X].
5 Zu einer reellen Zahl α betrachten wir die Q-Algebra
Q[α] = { f (α) ∈ R | f ∈ Q[X]}
aller Polynomausdrücke in α. Ist diese Q-Algebra für α = √ 7 eine Polynomalgebra
über Q in der Unbestimmten α?
Lösung: Nein. Wegen α 2 = 7 lässt sich 7 ∈ Q[α] auf zweierlei Weise als Polynom
in α schreiben. Das widerspricht der Definition (4.2.4 in der Vorlesung)
von Polynomringen.
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein