¨Ubungsblatt 1

8 Lösung zur vorherigen Aufgabe:
(i) Sei q ∈ H und H = q +U 0 . Wir wählen eine Orthonormalbasis (b 1 ,...,b r ) des Untervektorraums
U 0 , die wir zu einer Orthonormalbasis (b 1 ,...,b n ) von V fortsetzen. Dann schreibt sich jeder Punkt
in H als v = q + ∑ r i=1 λ ib i mit eindeutig bestimmten λ i ∈ R. Es ist
d(p,v) 2 = ‖p − q −
r
∑
i=1
λ i b i ‖ 2 =
r
∑
i=1
(λ 2 i − 2λ i 〈b i , p − q〉) + ‖p − q‖ 2
eine quadratische Funktion in den Variablen λ i mit i = 1,...,r mit Minimum für λ i = 〈b i , p − q〉,
also bei
q min = q +
r
∑
i=1
da für jedes v ∈ V gilt v = ∑ n i=1 〈v,b i〉b i .
(〈b i , p〉 − 〈b i ,q〉)b i = p +
n
∑
i=r+1
〈q − p,b i 〉b i ,
(ii) Offenbar ist q min − p eine Linearkombination der Basisvektoren b r+1 ,...,b n und steht daher auf
dem Untervektorraum U 0 senkrecht. Der Abstand eines Punktes p zum affinen Unterraum wird also
genau für den Punkt q min der affinen Unterraums minimiert, für den der Verbindungsvektor zu p
senkrecht auf dem affinen Unterraum steht.
(iii) Der Gradient nach a liefert die Gleichung
grad a ( f ) = −2
N
∑
i=1
y i − a − bx i = 0 ,
aus der nach Division durch 2N die Gleichung y = a + bx folgt. Die Ableitung nach b liefert nach
Einsetzen von a = y − bx die Gleichung
N
∂
∂b f (a,b) = −2 ∑ 〈y i − y + bx − bx i ,x i 〉 = 0.
i=1
Die angegebene Gleichung folgt, wenn man beachtet, dass
N
∑
i=1
〈x i − x,x〉 = N〈x,x〉 − N〈x,x〉 = 0
und
gilt.
N
∑
i=1
〈y i − y,x〉 = N〈y,x〉 − N〈y,x〉 = 0
Den Abgabeschluß der multiple choice Aufgaben sehen Sie oben auf dem Blatt. Die schriftlichen Aufgaben
werden in der Übungsgruppe am Montag, dem 7. Juli, abgegeben.