¨Ubungsblatt 1

5 Sind v 1 und v 2 Elemente von V mit v 1 = v 2 und gilt ψ(ϕ(v 1 )) = ψ(ϕ(v 2 )) ≠ 0,
dann ist (ϕ(v 1 ),ϕ(v 2 )) in W linear abhängig.
Lösung:
Es gilt sogar ϕ(v 1 ) = ϕ(v 2 ), also ist die Familie linear abhängig.
Sind v 1 und v 2 Elemente von V mit v 1 = v 2 und gilt ψ(ϕ(v 1 )) = ψ(ϕ(v 2 )) = 0,
dann ist (ϕ(v 1 ),ϕ(v 2 )) in W linear unabhängig.
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
Lösung:
Es gilt sogar ϕ(v 1 ) = ϕ(v 2 ), also ist die Familie linear abhängig.
Die folgenden Aufgaben sind schriftlich zu bearbeiten.
4 (10 Punkte) Sei K ein Körper und A = (a i j ) ∈ M(n × n,K). Zeigen Sie, dass dann gilt
Hinweis: Weisen Sie nach, dass die Abbildung
eine Determinantenabbildung ist.
det(a i j ) = det((−1) i+ j a i j ).
M(n × n,K) → K
A ↦→ det((−1) i+ j a i j )
Lösung:
Wir zeigen, dass die genannte Abbildung eine Determinantenabbildung ist. Die Behauptung folgt dann
aus der Eindeutigkeit der Determinantenabbildung.
(D1) Die zeilenweise Linearität ist offensichtlich.
(D2) Stimmen die k-te und l-te Zeile von A überein, so unterscheiden sich die k-te und l-te Zeile der Matrix
mit Einträgen (−1) i+ j a i j um ein Vorzeichen (−1) l−k . Die Determinante der Matrix (−1) i+ j a i j
verschwindet daher auch.
(D3) Offensichtlich gilt für die Einheitsmatrix:
det((−1) i+ j δ i j ) = det(δ i j ) = 1.