¨Ubungsblatt 1

3 Ist die Determinante, det : End K (V ) → K, eine Linearform auf End K (V )?
○ Ja /○ Nein
Lösung: Nein.
Die Determinante ist multilinear (nicht linear) bezüglich Skalarmultiplikation,
und nicht linear bezüglich der Addition von Matrizen.
Also Gegenbeispiel: det(2 · Id V ) = 2 dimV , aber 2det(Id V ) = 2.
4 Sei A eine geordnete Basis von V . Ist
○ Ja /○ Nein
eine Linearform auf End K (V )?
End K (V ) → K
φ ↦→ (M A (φ)) 11
5 Sei V = R n , aufgefasst als euklidischer Vektorraum mit dem Standard-
Skalarprodukt. Ist die zugehörige Norm, x ↦→ ‖x‖, eine Linearform auf V ?
○ Ja /○ Nein
Lösung: Nein.
Die Norm erfüllt die Eigenschaft (‖λx‖ = |λ|‖x‖), vertauscht also nicht mit der
Multiplikation mit Skalaren. Die Dreiecksungleichung besagt, dass
‖x‖ + ‖y‖ ≥ ‖x + y‖.
Also Gegenbeispiel: ‖x + (−x)‖ = 0, aber ‖x‖ + ‖ − x‖ = 2‖x‖.
Sei V = R n , aufgefasst als euklidischer Vektorraum mit dem Standard-
Skalarprodukt. Ist das Normquadrat, x ↦→ ‖x‖ 2 , eine Linearform auf V ?
○ Ja /○ Nein
Lösung: Nein.
Das Normquadrat respektiert weder die Multiplikation mit Skalaren noch die
Addition von Vektoren. Z.B. ‖λx‖ 2 = λ 2 ‖x‖ 2 für alle λ ∈ K.
6 Sei M ⊂ V , M ≠ V eine echte Teilmenge von V . Kann für den Annulator M 0 =
{0} gelten?
○ Ja /○ Nein
Lösung: Ja.
Nach Lemma 5.1.8 ii) der Vorlesung ist M 0 = (span K (M)) 0 . Es folgt, dass M 0 =
{0}, sobald M ein Erzeugendensystem von V ist.
7 Sei M ⊂ V eine Teilmenge mit M 0 = {0}. Muss M dann Erzeugendensystem
von V sein?
○ Ja /○ Nein
Lösung: Ja.
Angenommen M wäre kein Erzeugendensystem. Dann gibt es v ∈ V mit v ∉
span K (M), sowie eine Linearform, die auf span K (M) verschwindet, nicht aber
auf v. Das widerspricht unserer Annahme.
Die folgenden Aufgaben sind schriftlich zu bearbeiten.