¨Ubungsblatt 1

(
)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 2 10 3 12 1 5 8 7 9 6 11
)
2 Es sei S θ =
eine Spiegelungsmatrix und D θ =
(
cos(2θ)
sin(2θ)
sin(2θ)
−cos(2θ)
(
cos(θ)
sin(θ)
)
−sin(θ)
cos(θ)
○ +1 /○ -1
eine Drehmatrix. Wir
können diese Matrizen entweder als Elemente in M(2 × 2,R) oder in M(2 × 2,C) auffassen. Prüfen Sie
die folgenden Aussagen für allgemeines θ.
Lösung:
Das charakteristische Polynom von S θ ist
(λ − cos(2θ))(λ + cos(2θ)) − (sin(2θ)) 2 = λ 2 − 1 = (λ − 1)(λ + 1).
Die Eigenwerte sind also ( λ = 1)
und λ = −1. Man prüft leicht, ( dass ) die dazugehörigen Eigenräume die
Form Eig(S θ ,1) = span R ( cosθ
sinθ
) und Eig(S θ ,−1) = span R ( −sinθ
cosθ
) haben.
Das charakteristische Polynom von D θ ist
(λ − cosθ) 2 + (sinθ) 2 = λ 2 − 2cos(θ)λ + 1 = (λ − cosθ + isinθ)(λ − cosθ − isinθ).
Für allgemeine θ gibt es also nur über C Eigenwerte, nicht über R. Über C sind die Eigenwerte λ 1,2 =
cosθ ± isinθ. Dazu gehören die Eigenräume
( ) 1
Eig(D θ ,λ 1,2 ) = span C .
∓i
1 Aufgefasst als Element von M(2 × 2,R) hat S θ die Eigenwerte λ 1 = +1, λ 2 =
−1.
Aufgefasst als Element von M(2 × 2,R) hat S θ die Eigenwerte λ 1 = cos(θ),
λ 2 = sin(θ).
○ Wahr /○ Falsch
○ Wahr /○ Falsch
2 Aufgefasst als Element von M(2 × 2,C) hat D θ rein reelle Eigenwerte. ○ Wahr /○ Falsch
Aufgefasst als Element von M(2 × 2,C) hat D θ rein imaginäre Eigenwerte.
3 Aufgefasst als Element von M(2 × 2,C) hat D θ die Eigenwerte λ 1 = cos(θ),
λ 2 = sin(θ)
Aufgefasst als Element von M(2 × 2,C) hat D θ die Eigenwerte λ 1,2 = cos(θ) ±
isin(θ).
( )
4 span cos(θ)
R ist ein Eigenraum von S
sin(θ)
θ ∈ M(2 × 2,R).
( )
span sin(θ)
R ist ein Eigenraum von S
cos(θ)
θ ∈ M(2 × 2,R).
( )
5 span 1
C i
ist ein Eigenraum von D θ ∈ M(2 × 2,C).
( )
span i
C 1
ist ein Eigenraum von D θ ∈ M(2 × 2,C).
3 Es sei K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum (1 ≤ n < ∞) und ϕ ∈ End V .
1 Ist 1 einziger Eigenwert von ϕ, so ist ϕ = id V .
Lösung:
Gegenbeispiel: ( )
1 1
.
0 1
○ Wahr /○ Falsch
○ Wahr /○ Falsch
○ Wahr /○ Falsch
○ Wahr /○ Falsch
○ Wahr /○ Falsch
○ Wahr /○ Falsch
○ Wahr /○ Falsch
○ Ja /○ Nein