¨Ubungsblatt 1

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1 Ist det ( A iB iB A ) ○ Ja /○ Nein reell? Lösung: Durch Umformungen sieht man: ( ) ( A iB A + iB det = det iB A iB A + iB A ) = det ( A + iB 0 iB A − iB ) = |det(A+iB)| 2 Ist det ( iA −B −B iA ) ○ Ja /○ Nein reell? Lösung: Durch Umformungen sieht man: ( ) ( iA −B iA − B det = det −B iA −B iA − B iA ) = det ( iA − B 0 −B iA + B ) = −|det(B+iA)| 2 2 Ist det ( A −iB iB A ) ○ Ja /○ Nein reell? Lösung: Durch Umformungen sieht man: ( ) ( A iB A det = det −iB A i(A − B) iB A − B ) = det ( A + B iB 0 A − B ) = det(A+B)det(A−B) Ist det ( iA B −B iA ) ○ Ja /○ Nein reell? Lösung: Durch Umformungen sieht man: ( ) ( iA −B iA det = det B iA −A + B −B iA − iB ) = det ( iA + iB −B 0 iA − iB ) = −det(A−B)det(A+B)
3 Ist det ( A −B B A ) ○ Ja /○ Nein stets nicht-negativ? Lösung: Wir rechnen: ( A B det −B A ) = det ( A − iB −B B + iA A ) = det ( A − iB 0 −B A + iB ) = |det(A+iB)| 2 Ist det ( A B B −A ) ○ Ja /○ Nein stets nicht-negativ? Lösung: ( A det B B −A ) = det ( A + iB B B − iA −A ) = det ( A + iB 0 B −A + iB ) = −|det(A+iB)| 2 3 Es sei K ein Körper, n ∈ N, n ≥ 2 und A ∈ M(n × n,K). Sind die folgenden Aussagen richtig? 1 Sei (Ã) i j = (−1) i+ j detA str ji ist die zu A komplementäre Matrix. Ist die Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn A · Ã ≠ 0 ist?. 2 Die Abbildung det : GL n (K) → K ∗ = K \ {0} ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Die Abbildung det : GL n (K) → K ∗ = K \ {0} ist ein injektiver Gruppenhomomorphismus. ○ Ja /○ Nein ○ Ja /○ Nein ○ Ja /○ Nein 3 Sind zwei Zeilen von A linear abhängig, dann ist det(A) = 0. ○ Ja /○ Nein Sind zwei Spalten von A linear abhängig, dann ist det(A) = 0. 4 Ist A eine invertierbare obere Dreiecksmatrix, dann ist auch A −1 eine obere Dreiecksmatrix. Ist A eine invertierbare untere Dreiecksmatrix, dann ist auch A −1 eine untere Dreiecksmatrix. 5 Es sei K = R und A = (a i j ) ∈ M(n×n,R). Ist a i j /∈ Q für ein Paar (i, j), dann ist auch det(A) /∈ Q. 4 Es sei n ∈ N mit n ≥ 2. Sind die folgenden Aussagen richtig? 1 A ∈ M(n × n,Z) ist genau dann invertierbar in M(n × n,Z), wenn det(A) ∈ {1,−1} ist. A ∈ M(n × n,Z) ist genau dann invertierbar in M(n × n,Z), wenn det(A) = 1 ist. 2 Es sei K ein beliebiger Körper, A ∈ M(n×n,K) invertierbar und A t = A −1 . Dann ist det(A) = 1. Es sei K ein Körper, A ∈ M(n × n,K) invertierbar und A t = A −1 . Dann ist det(A) ∈ {1,−1}. ○ Ja /○ Nein ○ Ja /○ Nein ○ Ja /○ Nein ○ Ja /○ Nein ○ Ja /○ Nein ○ Ja /○ Nein ○ Ja /○ Nein ○ Ja /○ Nein
Seite 1 und 2: Übungsblatt 1 zur Vorlesung Linear
Seite 3 und 4: 4 (10 Punkte) Sei K ein Körper und
Seite 5 und 6: 7 (15 Punkte) Sei V ein endlich dim
Seite 7 und 8: 1 ⎛ ⎞ 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0
Seite 9 und 10: (a) −x 3 − 3x + 2 (b) −(x −
Seite 11 und 12: 6 (15 Punkte) Im R 3 seien die beid
Seite 13 und 14: 9 Sei K ein Körper und sei A ∈ M
Seite 15 und 16: Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Ja’] Ex 1,
Seite 17 und 18: 2 Genau dann gilt für alle A,B,C,D
Seite 19 und 20: 1 Sind v 1 ≠ v 2 Elemente von V u
Seite 21 und 22: 5 (15 Punkte) Sei K ein Körper und
Seite 23 und 24: 8 (15 Punkte): Es sei I eine Indexm
Seite 25 und 26: Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Nein’] Ex
Seite 27: a i, j = 2 · i · j. Lösung: Die
Seite 31 und 32: 6 Schreiben Sie die folgenden inver
Seite 33 und 34: 8 Die folgende Aufgabe soll Ihnen z
Seite 35 und 36: Ex 1, Qu 1, Var 1: [’2’] Ex 1,
Seite 37 und 38: ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 2
Seite 39 und 40: 1 Wenn die Dimension von V gleich n
Seite 41 und 42: 7 Sei K ein Körper. Wir betrachten
Seite 43 und 44: Ex 1, Qu 1, Var 1: [’+1’] Ex 1,
Seite 45 und 46: Falls K = R und n = 6 ist, so hat
Seite 47 und 48: 3 A und A t haben die gleichen Eige
Seite 49 und 50: 7 (10 Punkte) Gegeben sei die Matri
Seite 51 und 52: Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Ja’] Ex 1,
Seite 53 und 54: Zu einer reellen Zahl α betrachten
Seite 55 und 56: 3 Es sei K = F 3 und V ein 4-dimens
Seite 57 und 58: 7 Gibt es für n = 2 zu jedem µ
Seite 59 und 60: 8 (5 Punkte) Diagonalisieren Sie si
Seite 61 und 62: Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Nein’] Ex
Seite 63 und 64: 3 Wieviele Matrizen M ∈ M(2×2,F
Seite 65 und 66: 1 Ist für jeden Eigenwert λ von
Seite 67 und 68: 5 (5 Punkte) Sei K ein beliebiger K
Seite 69 und 70: 9 (Lösung der vorigen Aufgabe) Lö
Seite 71 und 72: Übungsblatt 9 zur Vorlesung Linear
Seite 73 und 74: 1.9 Sei V unendlichdimensional. Dan
Seite 75 und 76: a ∗ 1 (c 2) Lösung: -3. Aus 0 =
Seite 77 und 78: 4 (5 Punkte) ⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
Seite 79 und 80:
6 Es seien K ein Körper und n ∈
Seite 81 und 82:
9 Dies ist die Lösung zur vorherig
Seite 83 und 84:
Übungsblatt 10 zur Vorlesung Linea
Seite 85 und 86:
6 Sei V ein reeller Vektorraum und
Seite 87 und 88:
4 Die Matrix in M(3 × 3,R) liegt i
Seite 89 und 90:
5 (5 Punkte) Sei K ein Körper, in
Seite 91 und 92:
9 Sei B := ( 1 2√ 2,cosx,sinx,cos
Seite 93 und 94:
11 Lösung zu Aufgabe 9: i) Die ang
Seite 95 und 96:
Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Falsch’] E
Seite 97 und 98:
Gehört die Matrix ( √ 12 + 3 2 i
Seite 99 und 100:
3 Sei V ein unitärer Vektorraum. S
Seite 101 und 102:
4 Sei (V,〈·,·〉) ein euklidisc
Seite 103 und 104:
7 Es sei V = R 3 , ϕ : V → V lin
Seite 105 und 106:
10 Fortsetzung der Lösung zu Aufga
Seite 107 und 108:
Den Abgabeschluß der multiple choi
Seite 109 und 110:
Übungsblatt 12 zur Vorlesung Linea
Seite 111 und 112:
11 Sei W der Vektorraum der unendli
Seite 113 und 114:
4 (12 Punkte) Wir betrachten Diagon
Seite 115 und 116:
6 (10 Punkte) Sei K ein Körper und
Seite 117 und 118:
8 Lösung zur vorherigen Aufgabe: (
Seite 119 und 120:
Übungsklausur zur Vorlesung Linear
Seite 121:
11 Die folgende Matrix hat das char
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