¨Ubungsblatt 1

3 Sei V ein unitärer Vektorraum. Seien die Endomorphismen ϕ,ψ ∈ End(V ) unitär.
Dann ist auch ϕ ◦ ψ −1 unitär.
○ Wahr /○ Falsch
Lösung:
Wahr. Die unitären Matrizen bilden eine Gruppe. Explizit: Aus ϕ ∗ = ϕ −1 und
ψ ∗ = ψ −1 folgt
(ϕ ◦ ψ −1 ) ∗ = ψ ∗−1 ◦ ϕ ∗ = ψ ◦ ϕ −1 = (ϕ ◦ ψ −1 ) −1 .
4 Sei V ein unitärer Vektorraum. Seien die Endomorphismen ϕ,ψ ∈ End(V ) selbstadjungiert
und gelte ψ ◦ ϕ = ϕ ◦ ψ. Dann ist auch ϕ ◦ ψ selbstadjungiert.
○ Wahr /○ Falsch
Lösung:
Wahr. Denn
(ϕ ◦ ψ) ∗ = ψ ∗ ◦ ϕ ∗ = ψ ◦ ϕ = ϕ ◦ ψ.
3 1 Die Eigenwerte eines selbstadjungierten Endomorphismus eines unitären Vektorraum
sind immer reell.
○ Wahr /○ Falsch
Lösung:
Wahr. Denn wenn ϕ selbstadjungiert und v ein normierter Eigenvektor zum Eigenwert
λ ist, dann folgt
λ = 〈ϕ(v),v〉 = 〈v,ϕ(v)〉
= ¯λ.
2 Die Eigenwerte eines orthogonalen Endomorphismus sind immer gleich +1 oder
gleich −1.
○ Wahr /○ Falsch
Lösung:
Wahr. Denn wenn ϕ orthogonal und v ein normierter Eigenvektor zum Eigenwert
λ ist, dann folgt
λ 2 = 〈ϕ(v),ϕ(v)〉 = 〈v,v〉
= 1.
3 Die Eigenwerte eines unitären Endomorphismus haben immer den Betrag 1.
○ Wahr /○ Falsch
Lösung:
Wahr. Denn wenn ϕ unitär und v ein normierter Eigenvektor zum Eigenwert λ
ist, dann folgt
|λ| 2 = 〈ϕ(v),ϕ(v)〉 = 〈v,v〉
= 1.