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Übungsblatt 4 zur Vorlesung Lineare Algebra und Analytische Geometrie II im Sommersemester 2008 Christoph Schweigert Erstellt am 28.04.2008, 16:32 Uhr für Matrikelnummer CHECKING ALL VARIANTS. Abgabezeitpunkt ist 28.04.2008, 08:00 Uhr. 1 Man berechne den Rang der Matrix A = (a i, j ) ∈ M(n × n,Q) mit n ≥ 2 und ... 1 a i, j = i + j. Lösung: Es gilt für festes i und alle j a i j = (2 − i)a 1 j + (i − 1)a 2 j . Also lassen sich alle Zeilen als Linearkombination der ersten und zweiten Zeile schreiben. Der Rang ist also höchsten gleich zwei. Da die ersten beiden Zeilen linear unabhängig sind, ist der Rang genau gleich zwei. a i, j = i + j + 1. Lösung: Es gilt für festes i und alle j a i j = (2 − i)a 1 j + (i − 1)a 2 j . Also lassen sich alle Zeilen als Linearkombination der ersten und zweiten Zeile schreiben. Der Rang ist also höchsten gleich zwei. Da die ersten beiden Zeilen linear unabhängig sind, ist der Rang genau gleich zwei. 2 a i, j = i − j. Lösung: Es gilt für festes i und alle j a i j = (2 − i)a 1 j + (i − 1)a 2 j . Also lassen sich alle Zeilen als Linearkombination der ersten und zweiten Zeile schreiben. Der Rang ist also höchsten gleich zwei. Da die ersten beiden Zeilen linear unabhängig sind, ist der Rang genau gleich zwei. a i, j = i − j + 1. Lösung: Es gilt für festes i und alle j a i j = (2 − i)a 1 j + (i − 1)a 2 j . Also lassen sich alle Zeilen als Linearkombination der ersten und zweiten Zeile schreiben. Der Rang ist also höchsten gleich zwei. Da die ersten beiden Zeilen linear unabhängig sind, ist der Rang genau gleich zwei. 3 a i, j = i · j. Lösung: Die i-te Zeile ist das i-fache der ersten Zeile, also ist der Rang maximal gleich eins. Da die erste Zeile linear unabhängig ist, ist der Rang genau gleich eins.
a i, j = 2 · i · j. Lösung: Die i-te Zeile ist das 2i-fache der ersten Zeile, also ist der Rang maximal gleich Eins. Da die erste Zeile linear unabhängig ist, ist der Rang genau gleich eins. 4 a i, j = j i . Lösung: Dies ist eine Matrix von der Form wie sie in Aufgabe 7 auf dem dritten Übungsblatt behandelt wurde (Vandermonde Determinante). Dort war allgemeiner a i, j = (r j ) i , für gegebene Konstanten r j . Im hier gegebenen Fall ist r j = j Die Determinante dieser Matrix ist allgemein also ∏ 0≤i< j≤n ∏ 0≤i< j≤n (r j − r i ), in unserem Fall ( j − i). Alle Faktoren in diesem Produkt sind positiv, daher ist das gesamte Produkt positiv. Insbesondere ist also die Determinante unserer Matrix nichtverschwindend. Daher hat sie vollen Rang. a i, j = j i+1 . Lösung: Wir können aus jeder Zeile dieser Matrix einen Faktor herausziehen, und zwar aus der iten Zeile den Faktor j. Die verbleibende Matrix hat offenbar noch immer den selben Rang wie die ursprüngliche Matrix. Die verbleibende Matrix ist a i, j = j i . Dies ist eine Matrix von der Form wie sie in Aufgabe 7 auf dem dritten Übungsblatt behandelt wurde (Vandermonde Determinante). Dort war allgemeiner a i, j = (r j ) i , für gegebene Konstanten r·. Im hier gegebenen Fall ist r j = j Die Determinante dieser Matrix ist allgemein also ∏ 0≤i< j≤n ∏ (r j − r i ), in unserem Fall 0≤i< j≤n ( j − i). Alle Faktoren in diesem Produkt sind positiv, daher ist das gesamte Produkt positiv. Insbesondere ist also die Determinante unserer Matrix nichtverschwindend. Daher hat sie vollen Rang. { i für i ≥ j 5 a i, j = . 0 sonst Lösung: Es liegt eine obere Dreiecksmatrix mit nicht verschwindenden Einträgen auf der Diagonale vor, die also invertibel ist, also maximalen Rang hat. { j für i < j a i, j = . 0 sonst Lösung: Wie bei einer oberen Dreicksmatrix zeigt man, dass die n − 1 nicht verschwindenden Zeilen linear unabhängig sind. Also ist der Rang gleich n − 1. 2 Seien A,B ∈ M(n × n,R) quadratische Matrizen mit reellen Einträgen.
Seite 1 und 2: Übungsblatt 1 zur Vorlesung Linear
Seite 3 und 4: 4 (10 Punkte) Sei K ein Körper und
Seite 5 und 6: 7 (15 Punkte) Sei V ein endlich dim
Seite 7 und 8: 1 ⎛ ⎞ 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0
Seite 9 und 10: (a) −x 3 − 3x + 2 (b) −(x −
Seite 11 und 12: 6 (15 Punkte) Im R 3 seien die beid
Seite 13 und 14: 9 Sei K ein Körper und sei A ∈ M
Seite 15 und 16: Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Ja’] Ex 1,
Seite 17 und 18: 2 Genau dann gilt für alle A,B,C,D
Seite 19 und 20: 1 Sind v 1 ≠ v 2 Elemente von V u
Seite 21 und 22: 5 (15 Punkte) Sei K ein Körper und
Seite 23 und 24: 8 (15 Punkte): Es sei I eine Indexm
Seite 25: Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Nein’] Ex
Seite 29 und 30: 3 Ist det ( A −B B A ) ○ Ja /
Seite 31 und 32: 6 Schreiben Sie die folgenden inver
Seite 33 und 34: 8 Die folgende Aufgabe soll Ihnen z
Seite 35 und 36: Ex 1, Qu 1, Var 1: [’2’] Ex 1,
Seite 37 und 38: ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 2
Seite 39 und 40: 1 Wenn die Dimension von V gleich n
Seite 41 und 42: 7 Sei K ein Körper. Wir betrachten
Seite 43 und 44: Ex 1, Qu 1, Var 1: [’+1’] Ex 1,
Seite 45 und 46: Falls K = R und n = 6 ist, so hat
Seite 47 und 48: 3 A und A t haben die gleichen Eige
Seite 49 und 50: 7 (10 Punkte) Gegeben sei die Matri
Seite 51 und 52: Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Ja’] Ex 1,
Seite 53 und 54: Zu einer reellen Zahl α betrachten
Seite 55 und 56: 3 Es sei K = F 3 und V ein 4-dimens
Seite 57 und 58: 7 Gibt es für n = 2 zu jedem µ
Seite 59 und 60: 8 (5 Punkte) Diagonalisieren Sie si
Seite 61 und 62: Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Nein’] Ex
Seite 63 und 64: 3 Wieviele Matrizen M ∈ M(2×2,F
Seite 65 und 66: 1 Ist für jeden Eigenwert λ von
Seite 67 und 68: 5 (5 Punkte) Sei K ein beliebiger K
Seite 69 und 70: 9 (Lösung der vorigen Aufgabe) Lö
Seite 71 und 72: Übungsblatt 9 zur Vorlesung Linear
Seite 73 und 74: 1.9 Sei V unendlichdimensional. Dan
Seite 75 und 76: a ∗ 1 (c 2) Lösung: -3. Aus 0 =
Seite 77 und 78:
4 (5 Punkte) ⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
Seite 79 und 80:
6 Es seien K ein Körper und n ∈
Seite 81 und 82:
9 Dies ist die Lösung zur vorherig
Seite 83 und 84:
Übungsblatt 10 zur Vorlesung Linea
Seite 85 und 86:
6 Sei V ein reeller Vektorraum und
Seite 87 und 88:
4 Die Matrix in M(3 × 3,R) liegt i
Seite 89 und 90:
5 (5 Punkte) Sei K ein Körper, in
Seite 91 und 92:
9 Sei B := ( 1 2√ 2,cosx,sinx,cos
Seite 93 und 94:
11 Lösung zu Aufgabe 9: i) Die ang
Seite 95 und 96:
Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Falsch’] E
Seite 97 und 98:
Gehört die Matrix ( √ 12 + 3 2 i
Seite 99 und 100:
3 Sei V ein unitärer Vektorraum. S
Seite 101 und 102:
4 Sei (V,〈·,·〉) ein euklidisc
Seite 103 und 104:
7 Es sei V = R 3 , ϕ : V → V lin
Seite 105 und 106:
10 Fortsetzung der Lösung zu Aufga
Seite 107 und 108:
Den Abgabeschluß der multiple choi
Seite 109 und 110:
Übungsblatt 12 zur Vorlesung Linea
Seite 111 und 112:
11 Sei W der Vektorraum der unendli
Seite 113 und 114:
4 (12 Punkte) Wir betrachten Diagon
Seite 115 und 116:
6 (10 Punkte) Sei K ein Körper und
Seite 117 und 118:
8 Lösung zur vorherigen Aufgabe: (
Seite 119 und 120:
Übungsklausur zur Vorlesung Linear
Seite 121:
11 Die folgende Matrix hat das char
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