¨Ubungsblatt 1

8 Ein Endomorphismus ϕ eines n-dimensionalen K-Vektorraums V heißt nilpotent, wenn es eine natürliche
Zahl k gibt, so dass ϕ k = 0 gilt.
(i) (15 Punkte) Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen über einen Endomorphismus eines
n-dimensionalen K-Vektorraums:
1. ϕ ist nilpotent.
2. Das charakteristische Polynom ist P ϕ (X) = X n .
3. Es gibt eine Basis von V , bezüglich welcher ϕ durch eine obere Dreiecksmatrix mit lauter Nullen
auf der Hauptdiagonalen dargestellt wird.
4. Es gilt ϕ n = 0.
Hinweis:
Verwenden Sie die Kette von Inklusionen
kerϕ ⊂ kerϕ 2 ⊂ kerϕ 3 ⊂ ··· ⊂ kerϕ k = V ,
um 1.) ⇒ 3.) zu zeigen.
(ii) Zeigen Sie, dass für eine nilpotente Matrix A ∈ M(n × n,K) gilt:
1. (5 Punkte) Sp(A) = 0.
2. (5 Punkte) det(A + E n ) = det(E n − A) = 1.
(iii) (10 Punkte) Sei A nilpotent. Zeigen Sie: Für jede Matrix B ∈ M(n × n,K), die mit A vertauscht, gilt
det(A + B) = det(B).