¨Ubungsblatt 1

3 Sei g = X n − 1, f = X − 1 und g = q f . Dann gilt
□ a /□ b /□ c
a) q = n−1
∑ X k .
k=0
b) q = X n−1 − X n−2 + X n−3 ∓ ··· + (−1) n .
c) q = X n−1 − X n−2 + X n−3 + ··· + 1.
(
)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 Es sei σ die folgende Permutation von 9 Elementen:
.
3 5 9 4 1 2 6 7 8
Sei mit (i j) die Transposition bezeichnet, die das i-te mit dem j-ten Element vertauscht und ansonsten
alle Elemente auf sich selbst abbildet. In den folgenden Fragen ist jeweils eine Verkettung von solchen
Transpositionen angegeben, wobei an einer Stelle die Variable i anstelle einer der Ziffern von 1 bis 9 steht.
Tragen Sie in das Antwortfeld die Ziffer ein, die man für i einsetzen muss, damit die Verknüpfung der
angegebenen Transpositionen gleich σ ist.
1 (7 i) ◦ (6 8) ◦ (8 2) ◦ (5 8) ◦ (9 8) ◦ (9 3) ◦ (1 3)
(6 i) ◦ (5 7) ◦ (8 7) ◦ (1 8) ◦ (3 8) ◦ (2 5) ◦ (9 8)
2 (1 6) ◦ (9 6) ◦ (7 8) ◦ (i 6) ◦ (3 9) ◦ (2 5) ◦ (1 2)
(3 9) ◦ (1 3) ◦ (8 5) ◦ (i 8) ◦ (6 7) ◦ (2 7) ◦ (5 7)
4 Es sei K ein Körper und A ∈ M(n × n,K).
1 Ist s Eigenwert von A, so ist dim K Eig(A,s) = Rang(s · E n − A).
Lösung: Nein. Es ist nach der Dimensionsformel
dim K Eig(A,s) = dim K ker(s · E n − A) = n − Rang(s · E n − A).
○ Ja /○ Nein
Ist s Eigenwert von A, so ist dim K Eig(A,s) = n − Rang(s · E n − A).
Lösung: Ja. Es ist nach der Dimensionsformel
○ Ja /○ Nein
dim K Eig(A,s) = dim K ker(s · E n − A) = n − Rang(s · E n − A).
2 Ist K = C, dann gilt: Wenn das charakteristische Polynom P A ≠ X n ist, so ist
A m ≠ 0 für alle m ∈ N.
Lösung: Ja.
In diesem Fall gibt es einen Eigenwert ungleich Null. Keine Potenz von A annihiliert
den zugehörigen Eigenvektor, daher müssen alle A m von Null verschieden
sein.
Ist K = C, dann gilt: Wenn A m = 0 ist für ein m ∈ N, so ist das charakteristische
Polynom P A = X n .
Lösung: Ja.
In diesem Fall kann nur λ = 0 als Eigenwert auftreten, also ist P A eine Potenz
von X.
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein