¨Ubungsblatt 1

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4 Geben Sie das Signum der folgenden Permutationen an (ohne Rechnung). ( ) 1 2 3 4 5 6 ( 3 2 1 6 5 4 1 2 3 ... ... ... ... 4n − 2 4n − 1 4n 4n 4n − 1 4n − 2 ... ... ... ... 3 2 1 5 Wie lautet bezüglich der Standardbasis des R 2 die darstellende Matrix der Spiegelung an derjenigen Ursprungsgeraden, die mit der positiven Richtung der x-Achse einen Winkel von π 3 gegen den Uhrzeigersinn einschließt? 1 Punkt für die Angabe der allgemeinen Spiegelungsmatrix für einen Winkel α und die Rechnung mit α = π 3 . a) ( √ 12 − 3 √ 3 2 1 2 2 ) ) ○ a /○ b /○ c b) ( − 2 1 √ 3 2 √ ) 3 2 1 2 c) ( 12 √ 3 2 √ 3 2 − 1 2 ) 6 Geben Sie die Eigenwerte der folgenden reellen Matrix an (ohne Rechnung). Sie bekommen einen Punkt für die Angabe des charakteristischen Polynoms und einen Punkt für die Angabe der Eigenwerte. ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 0 17 −2 5 25 1 2 7 Geben Sie einen Eigenvektor zum Eigenwert -3 der folgenden reellen Matrix an (ohne Rechnung): ⎛ ⎞ −1 1 2 ⎜ ⎟ ⎝ 1 −1 1 ⎠. 2 1 −1 ⎞ ⎟ ⎠ 8 Sei f ∈ R[x] ein reelles Polynom vom Grad neun. Kann f mit Vielfachheit gerechnet acht reelle Nullstellen haben? Sie bekommen 2 Punkte für die richtige Begründung. ○ Ja /○ Nein 9 Sei K ein Körper und seien n,m natürliche Zahlen. Sei ϕ : K n → K m eine lineare Abbildung. Wenn n = m ist, kann ϕ dann injektiv, aber nicht surjektiv sein? 1 Punkt für die Begründung 10 Sei K ein Körper. Wir betrachten M(2 × 2,K). Gilt det ( a sc sb d ) = sdet für alle s ∈ K? 1 Punkt für die Begründung oder ein Gegenbeispiel. ( a c b d ) ○ Ja /○ Nein ○ Ja /○ Nein
11 Die folgende Matrix hat das charakteristische Polynom (X −2) 2 (X −1). Ist sie diagonalisierbar? 2 Punkte für die Begründung. ⎛ ⎜ ⎝ 2 2 −1 0 0 1 0 −2 3 ⎞ ⎟ ⎠ ○ Ja /○ Nein
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Übungsblatt 1 zur Vorlesung Linear
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4 (10 Punkte) Sei K ein Körper und
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7 (15 Punkte) Sei V ein endlich dim
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1 ⎛ ⎞ 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0
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(a) −x 3 − 3x + 2 (b) −(x −
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6 (15 Punkte) Im R 3 seien die beid
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9 Sei K ein Körper und sei A ∈ M
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Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Ja’] Ex 1,
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2 Genau dann gilt für alle A,B,C,D
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1 Sind v 1 ≠ v 2 Elemente von V u
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5 (15 Punkte) Sei K ein Körper und
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8 (15 Punkte): Es sei I eine Indexm
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Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Nein’] Ex
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a i, j = 2 · i · j. Lösung: Die
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3 Ist det ( A −B B A ) ○ Ja /
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6 Schreiben Sie die folgenden inver
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8 Die folgende Aufgabe soll Ihnen z
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Ex 1, Qu 1, Var 1: [’2’] Ex 1,
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( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 2
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1 Wenn die Dimension von V gleich n
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7 Sei K ein Körper. Wir betrachten
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Ex 1, Qu 1, Var 1: [’+1’] Ex 1,
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Falls K = R und n = 6 ist, so hat
Seite 47 und 48:
3 A und A t haben die gleichen Eige
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7 (10 Punkte) Gegeben sei die Matri
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Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Ja’] Ex 1,
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Zu einer reellen Zahl α betrachten
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3 Es sei K = F 3 und V ein 4-dimens
Seite 57 und 58:
7 Gibt es für n = 2 zu jedem µ
Seite 59 und 60:
8 (5 Punkte) Diagonalisieren Sie si
Seite 61 und 62:
Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Nein’] Ex
Seite 63 und 64:
3 Wieviele Matrizen M ∈ M(2×2,F
Seite 65 und 66:
1 Ist für jeden Eigenwert λ von
Seite 67 und 68:
5 (5 Punkte) Sei K ein beliebiger K
Seite 69 und 70: 9 (Lösung der vorigen Aufgabe) Lö
Seite 71 und 72: Übungsblatt 9 zur Vorlesung Linear
Seite 73 und 74: 1.9 Sei V unendlichdimensional. Dan
Seite 75 und 76: a ∗ 1 (c 2) Lösung: -3. Aus 0 =
Seite 77 und 78: 4 (5 Punkte) ⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
Seite 79 und 80: 6 Es seien K ein Körper und n ∈
Seite 81 und 82: 9 Dies ist die Lösung zur vorherig
Seite 83 und 84: Übungsblatt 10 zur Vorlesung Linea
Seite 85 und 86: 6 Sei V ein reeller Vektorraum und
Seite 87 und 88: 4 Die Matrix in M(3 × 3,R) liegt i
Seite 89 und 90: 5 (5 Punkte) Sei K ein Körper, in
Seite 91 und 92: 9 Sei B := ( 1 2√ 2,cosx,sinx,cos
Seite 93 und 94: 11 Lösung zu Aufgabe 9: i) Die ang
Seite 95 und 96: Ex 1, Qu 1, Var 1: [’Falsch’] E
Seite 97 und 98: Gehört die Matrix ( √ 12 + 3 2 i
Seite 99 und 100: 3 Sei V ein unitärer Vektorraum. S
Seite 101 und 102: 4 Sei (V,〈·,·〉) ein euklidisc
Seite 103 und 104: 7 Es sei V = R 3 , ϕ : V → V lin
Seite 105 und 106: 10 Fortsetzung der Lösung zu Aufga
Seite 107 und 108: Den Abgabeschluß der multiple choi
Seite 109 und 110: Übungsblatt 12 zur Vorlesung Linea
Seite 111 und 112: 11 Sei W der Vektorraum der unendli
Seite 113 und 114: 4 (12 Punkte) Wir betrachten Diagon
Seite 115 und 116: 6 (10 Punkte) Sei K ein Körper und
Seite 117 und 118: 8 Lösung zur vorherigen Aufgabe: (
Seite 119: Übungsklausur zur Vorlesung Linear
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