¨Ubungsblatt 1

5 Wir untersuchen den Ring M(2 × 2,F 2 ) von 2 × 2-Matrizen mit Einträgen im Körper F 2
(a) (5 Punkte) Geben Sie alle invertierbaren Matrizen an.
(b) (5 Punkte) Ist die Gruppe GL(2,F 2 ) isomorph zu einer symmetrischen Gruppe S n ?
(c) (5 Punkte) Geben Sie die Ähnlichkeitsklassen invertierbarer Matrizen an.
(d) (5 Punkte) Geben Sie die Ähnlichkeitsklassen nicht-invertierbarer Matrizen an.
Lösung:
Mit Hilfe der Determinante sieht man leicht, dass GL(2,F 2 ) aus den folgenden sechs Elementen besteht:
( )( )( )( )
1 0 0 1 1 0 1 1
0 1
1 0
1 1
0 1
die außer dem ersten Element Ordnung zwei haben und zwei Elementen
( )( )
0 1 1 1
1 1
der Ordnung drei. Als Gruppe liegt die symmetrische Gruppe S 3 vor.
Es gibt 3 Ähnlichkeitsklassen invertibler Elemente, eine bestehend aus der Identität, eine bestehend aus
den beiden Elementen der Ordnung 3 und eine bestehend aus den 3 Elementen der Ordnung zwei.
Die 10 nicht-invertiblen Matrizen fallen in drei Ähnlichkeitsklassen: eine bestehend aus der Null, eine
bestehend aus den drei Matrizen
( )( )( )
1 1 0 1 0 0
1 1
0 0
und eine, die die restlichen sechs Elemente enthält.
6 (10 Punkte) Es sei K ein Körper, n ∈ N und A ∈ M(n × n,K) eine Matrix. Mit P A ∈ K[X] sei das charakteristische
Polynom von A bezeichnet. Zeigen Sie:
Wenn a ∈ K ist und die Dimension dim K (Eig(A,a)) = m für ein m ∈ N mit m ≥ 1 ist, dann teilt das
Polynom (X − a) m das charakteristische Polynom P A .
1 0
1 0
Lösung:
Wir vervollständigen die m Eigenvektoren zu einer Basis. In dieser hat A die Form
Das charakteristische Polynom ist also
⎛
⎜
⎝
⎞
aE m ∗
⎟
⎠ .
0 A ′
P A = P aEm · P A ′ = (X − a) m P A ′ .