¨Ubungsblatt 1

6 Die Fibonacci-Folge (a n ) n∈N ist definiert durch die zwei Anfangswerte
und die Rekursionsformel
a 0 = 0
a 1 = 1
a n+2 = a n+1 + a n .
Da die Rekursionsvorschrift linear ist, kann man Vektoren
( )
a n+1
v n :=
a n
einführen und die Rekursionsvorschrift durch eine Matrix A beschreiben:
v k+1 = A · v k .
1. (5 Punkte) Bestimmen Sie die Matrix A und finden Sie deren Eigenwerte und Eigenvektoren.
2. (10 Punkte) Diagonalisieren Sie die Matrix A. Betrachten Sie mit Hilfe der diagonalisierten Matrix
die zweite Komponente von v n und geben Sie eine explizite Formel für a k als Funktion von k an.
Lösung:
Offenbar ist
A =
(
1 1
1 0
Das gesuchte Element a k ist die zweite Komponente des Vektors v k = A k · v 0 = A k ·
)
.
(
1
0
)
, also der
Eintrag (A k ) 21 der Matrix A k .
Das charakteristische Polynom von A lautet χ A (λ) = λ 2 − λ − 1. Dessen Nullstellen, und damit ( die Eigenwerte
von A, sind λ 1 = 1+√ 5
)
2
und λ 2 = 1−√ 5
1
2
zu den Eigenräumen Eig(A,λ 1 ) = span R
λ 1 − 1
( )
1
und Eig(A,λ 2 ) = span R . Eine Transformationsmatrix auf eine Eigenbasis ist also S −1 =
λ 2 − 1
(
)
(
)
1 1
. Deren Inverse berechnet sich zu S = 1 λ 2 − 1 −1
λ
λ 1 − 1 λ 2 − 1
2 −λ 1
. Es gilt
1 − λ 1 1
A k = S −1 (
λ k 1
0
0 λ k 2
Den linken unteren Eintrag dieser Matrix berechnet man leicht zu
)
S.
a k = λk 1√ − λk 2
.
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