¨Ubungsblatt 1

1 Sind v 1 ≠ v 2 Elemente von V und gilt ϕ(v 1 ) = ϕ(v 2 ) ≠ 0, dann ist (v 1 ,v 2 ) in V
linear unabhängig.
Lösung:
Wäre die Familie (v 1 ,v 2 ) linear abhängig, so gälte v 1 = λv 2 mit λ ≠ 1, da beide
Elemente ungleich null sein müssen. Wegen λϕ(v 2 ) = ϕ(v 1 ) = ϕ(v 2 ) ≠ 0 ist dies
aber nicht möglich.
Sind v 1 ≠ v 2 Elemente von V und gilt ϕ(v 1 ) = ϕ(v 2 ) ≠ 0, dann ist (v 1 ,v 2 ) in V
linear abhängig.
Lösung:
Wäre die Familie (v 1 ,v 2 ) linear abhängig, so gälte v 1 = λv 2 mit λ ≠ 1, da beide
Elemente ungleich null sein müssen. Wegen λϕ(v 2 ) = ϕ(v 1 ) = ϕ(v 2 ) ≠ 0 ist dies
aber nicht möglich.
2 Sind v 1 ≠ v 2 Elemente von V und gilt ϕ(v 1 ) = ϕ(v 2 ), dann ist (v 1 ,v 2 ) in V linear
unabhängig.
Lösung:
Wähle als Gegenbeispiel v 1 = 0 und v 2 ≠ 0 im Kern von ϕ.
Sind v 1 ≠ v 2 Elemente von V und gilt ϕ(v 1 ) = ϕ(v 2 ), dann ist (v 1 ,v 2 ) in V linear
abhängig.
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
Lösung:
Wähle als Gegenbeispiel v 1 ,v 2 linear unabhängig im Kern von ϕ.
3 Sind v 1 ≠ v 2 Elemente von V und gilt ψ(ϕ(v 1 )) = ψ(ϕ(v 2 )) ≠ 0, dann ist
(ϕ(v 1 ),ϕ(v 2 )) in W linear unabhängig.
Lösung:
Wähle ein Beispiel, bei dem ϕ(v 1 ) = ϕ(v 2 ) mit v 1 ≠ v 2 gilt.
Sind v 1 ≠ v 2 Elemente von V und gilt ψ(ϕ(v 1 )) = ψ(ϕ(v 2 )) ≠ 0, dann ist
(ϕ(v 1 ),ϕ(v 2 )) in W linear abhängig.
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
Lösung:
Wähle als Gegenbeispiel V = W und ϕ = id, v 1 und v 2 linear unabhängig, aber
v 1 − v 2 ∈ Kerψ.
4 Sind v 1 ≠ v 2 Elemente von V und gilt ϕ(v 1 ) = ϕ(v 2 ) und ψ(ϕ(v 1 )) ≠ 0, dann ist
(v 1 ,v 2 ) in V linear unabhängig.
Lösung:
Wären Sie linear abhängig, so wäre v 1 = λv 2 mit λ ≠ 1, woraus folgt ϕ(v 1 ) =
λϕ(v 2 ). Zusammen mit der Bedingung ϕ(v 1 ) = ϕ(v 2 ) folgt ϕ(v 1 ) = 0, was im
Widerspruch zu ψ(ϕ(v 1 )) ≠ 0 ist.
Sind v 1 ≠ v 2 Elemente von V und gilt ϕ(v 1 ) = ϕ(v 2 ) und ψ(ϕ(v 1 )) ≠ 0, dann ist
(v 1 ,v 2 ) in V linear abhängig.
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
Lösung:
Wären Sie linear abhängig, so wäre v 1 = λv 2 mit λ ≠ 1, woraus folgt ϕ(v 1 ) =
λϕ(v 2 ). Zusammen mit der Bedingung ϕ(v 1 ) = ϕ(v 2 ) folgt ϕ(v 1 ) = 0, was im
Widerspruch zu ψ(ϕ(v 1 )) ≠ 0 ist.