¨Ubungsblatt 1

5 (i) (5 Punkte) Zeigen Sie: jede Matrix A ∈ M(n × n,C) ist unitär ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix,
d.h. es gibt eine unitäre Matrix U ∈ U(n), so dass U −1 AU eine obere Dreiecksmatrix ist.
(ii) (5 Punkte) Sei V ein n-dimensionaler unitärer Vektorraum und ϕ ∈ End(V ). Seien λ 1 ,λ 2 ,...,λ m
die Eigenwerte von ϕ, wobei Eigenwerte entsprechend ihrer geometrischen Vielfachheit mehrfach
auftreten. Dann ist
m
|λ i | 2 ≤ tr(ϕ ∗ ϕ)
∑
i=1
(iii) (5 Punkte) Zeigen Sie, dass bei der Ungleichung in (ii) Gleichheit genau dann gilt, wenn ϕ ∗ ◦ ϕ =
ϕ ◦ ϕ ∗ gilt. Einen Endomorphismus eines unitären Vektorraums mit dieser Eigenschaft nennt man
auch normal.
Lösung:
i) Man muss nur den Beweis von Satz 4.4.6 der Vorlesung geeignet anpassen. Statt, wie dort, einen Eigenvektor
zu einer beliebigen Basis zu ergänzen, ergänzt man zu einer Orthonormalbasis. Dann ist der
Basiswechsel durch eine unitäre Matrix gegeben.
ii)
Sei M(ϕ) eine Matrixdarstellung von ϕ in einer Orthonormalbasis. In dieser Basis ist dann M(ϕ ∗ ) =
(M(ϕ)) ∗ , gemäß den Regeln der Matrixmultiplikation folgt, dass
tr(ϕ ∗ ϕ) = ∑|M(ϕ) jk | 2
j,k
eine Summe nicht-negativer Terme ist.
Nach (i) gibt es eine Orthonormalbasis von V , in der M(ϕ) eine obere Dreiecksmatrix ist. Bei oberen
Dreiecksmatrizen stehen die Eigenwerte entsprechend ihren algebraischen Vielfachheiten auf der Diagonalen.
Sie treten also mindestens gemäß ihrer geometrischen Vielfachheit als Diagonalelemente auf. Wir
bezeichnen daher mit i k ∈ {1,...n} einen Index, für den gilt M(ϕ) ik i k
= λ k . Dann ist
∑|M(ϕ) jk | 2 =
j,k
m
∑ |λ j | 2 + ∑ |M(ϕ) jk | 2 +
j=1 j