¨Ubungsblatt 1

7 Es sei V = R 3 , ϕ : V → V linear und B eine Basis von V mit
⎛
⎞
1 −2 −1
⎜
⎟
M B (ϕ) = A = ⎝ −2 1 −1 ⎠.
5
−1 −1 2
(a) (5 Punkte) Ist ϕ diagonalisierbar?
(b) (5 Punkte) Es sei β : V × V → R die Bilinearform auf V mit darstellender Matrix M B (β) = A.
Berechnen Sie eine Orthogonalbasis von V bezüglich β.
(c) (5 Punkte) Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix P ∈ O(3), so dass P −1 AP Diagonalgestalt hat.
(d) (5 Punkte) Sei
⎛ ⎞
x
⎜ ⎟
Q a = { ⎝ y ⎠ ∈ R 3 | x 2 − 4xy − 2xz + y 2 − 2yz + 5 2 z2 = a}.
z
Beschreiben Sie für a = 0 die Geometrie der Menge Q a . Aus wie vielen Zusammenhangskomponenten
besteht die Menge Q −1 ?
8 Eine komplexe Struktur auf einem R-Vektorraum V ist ein Endomorphismus J von V mit J 2 = −id V .
Zeigen Sie:
(i) (5 Punkte) Mit der skalaren Multiplikation (x +iy)·v := xv+yJ(v) für x,y ∈ R und v ∈ V wird V zu
einem C-Vektorraum.
(ii) (5 Punkte) Ist V endlich-dimensional, so ist dim R V gerade. Berechnen Sie auch dim C V !
Sei nun überdies ω eine symplektische Bilinearform auf V . Die symplektische Form und die komplexe
Struktur seien verträglich in dem Sinne, dass für alle v,w ∈ V gilt
(iii) (5 Punkte) Zeigen Sie, dass durch
ω(Jv,Jw) = ω(v,w).
〈v,w〉 := ω(v,Jw)
eine symmetrische Bilinearform auf V definiert wird, und dass J bezüglich dieser symmetrischen
Bilinearform ein orthogonaler Endomorphismus ist, d.h. dass für alle v,w ∈ V gilt 〈Jv,Jw〉 = 〈v,w〉.
(iv) (5 Punkte) Eine komplexe Struktur J heißt ω-kalibriert, wenn die symmetrische Bilinearform 〈·,·〉
positiv definit ist. Zeigen Sie, dass in diesem Fall
h(v,w) := 〈v,w〉 − iω(v,w)
eine hermitesche Form für die nach Teilaufgabe (i) von J induzierten C-Vektorraum-Struktur auf V
ist.