¨Ubungsblatt 1

11 Sei W der Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren, komplexwertigen
Funktionen f : [0,1] → C, die zusammen mit all ihren Ableitungen bei 0 und
R
1 verschwinden, und sei 〈 f ,g〉 = 1 f (x)ḡ(x)dx
Dann ist der Endomorphismus
0
○ Wahr /○ Falsch
anti-selbstadjungiert.
d : W → W
f ↦→ i f ′
Lösung:
Falsch. Der Endomorphismus ist selbstadjungiert. Verwende partielle Integration.
2 Sei K ein Körper, f ∈ K[X] ein normiertes Polynom und B f die Begleitmatrix zu f .
1 Die Begleitmatrix eines Monoms f (X) = X n mit n ≥ 2 ist die n × n Nullmatrix. ○ Wahr /○ Falsch
2 Das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom der Begleitmatrix eines
normierten Polynoms g sind stets gleich g.
Lösung: Wahr. Siehe dazu den Beweis von Satz 4.5.7 (Satz von Cayley-
Hamilton).
3 Jede Matrix ist ähnlich zur Begleitmatrix ihres charakteristischen Polynoms.
Lösung:
Falsch: wähle irgendeine Matrix, deren Minimalpolynom und charakteristisches
Polynom verschieden sind.
4 Die Jordansche Normalform einer Begleitmatrix ist stets eine Diagonalmatrix.
Lösung:
Für die Begleitmatrix B f zu f = X 2 −2X +1 gilt P A (X) = µ A (X) = f = (X −1) 2 .
Also ist B f nicht diagonalisierbar.
3 Betrachten Sie die folgende Matrix mit komplexen Einträgen:
⎛
0 0
1 0
2 0 0
1 2 0
A :=
0 1 2
2 0
1 2
⎜
⎝
3 0
1 3
⎞
⎟
⎠
○ Wahr /○ Falsch
○ Wahr /○ Falsch
○ Wahr /○ Falsch
1 Geben Sie den Rang der Matrix an.
2 Geben Sie den Grad des charakteristischen Polynoms an.
3 Geben Sie den Grad des Minimalpolynoms an.
4 Geben Sie die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ = 2 von A an.