¨Ubungsblatt 1

Übungsblatt 5
zur Vorlesung Lineare Algebra und Analytische Geometrie II im Sommersemester 2008
Christoph Schweigert
Erstellt am 05.05.2008, 16:28 Uhr für Matrikelnummer CHECKING ALL VARIANTS. Abgabezeitpunkt ist
05.05.2008, 08:00 Uhr.
1 Berechnen Sie das Signum der folgenden Permutationen.
Lösung: Wir führen die obere Zeile in die untere durch eine Folge von Vertauschungen benachbarter
Einträge aus. Jede solche Vertauschung traegt einen Faktor (−1) bei. Das Signum ist das Produkt all dieser
Faktoren, also +1 wenn wir insgesamt eine gerade Anzahl an Paarvertauschungen ausführen müssen, −1
bei einer ungeraden Zahl.
Sei zum Beispiel die Permutation
(
)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
5 7 10 2 3 11 12 8 6 4 9 1
betrachtet.
Im diesem Fall bewegen wir z.B. zuerst die 1 an die letzte Stelle. Dazu müssen wir an der 2, der 3, der
4, usw., bis schließlich an der 12 vorbei. Das sind insgesamt 11 Vertauschungen, liefert also einen Faktor
−1.
Als nächstes müssen wir die 9 an the vorletzte Stelle bringen. Dazu müssen wir an 10, 11 und 12 vorbei.
Es gibt also wieder einen Faktor -1.
Auf diese Weise fährt man fort.
Für zyklische Permutationen ist allgemein das Signum von
(
)
1 ... n − 1 n
2 ... n 1
1
2
3
4
gegeben durch (−1) n .
( )
1 2 3
2
(
3 1
)
1 2 3
3
(
1 2
)
1 2 3 4
2
(
3 4 1
)
1 2 3 4
4
(
1 2 3
)
1 2 3 4 5
2
(
3 4 5 1
)
1 2 3 4 5
5
(
1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
5 4 6 3 11 9 1 10 8 2 12 7
)
○ +1 /○ -1
○ +1 /○ -1
○ +1 /○ -1
○ +1 /○ -1
○ +1 /○ -1
○ +1 /○ -1
○ +1 /○ -1