¨Ubungsblatt 1

Übungsblatt 6
zur Vorlesung Lineare Algebra und Analytische Geometrie II im Sommersemester 2008
Christoph Schweigert
Erstellt am 29.05.2008, 13:42 Uhr für Matrikelnummer CHECKING ALL VARIANTS. Abgabezeitpunkt ist
26.05.2008, 08:00 Uhr.
1 Seien K ein Körper und V ein K-Vektorraum, ϕ ∈ End V und 1 ≤ dim V = n < ∞. Sind die folgenden
Aussagen wahr?
1 Für jedes a ∈ K gibt es einen Endomorphismus von V mit Eigenwert a.
Lösung: Ja. Z.B. das a-fache der Identität.
Es gibt ein Element a ∈ K, das nicht Eigenwert eines Endomorphismus von V
ist.
Lösung: Nein. Der Eigenwert des a-fachen der Identität ist a.
2 ϕ hat höchstens n verschiedene Eigenwerte.
Lösung: Ja. Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind linear unabhängig.
Es gibt aber höchstens n linear unabhängige Vektoren in einem Vektorraum
der Dimension n.
ϕ hat stets n verschiedene Eigenwerte.
Lösung: Nein. Gegenbeispiel: die Identitätsabbildung.
3 Die Summe der geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte von ϕ ist stets n.
( )
0 1
Lösung: Nein. Gegenbeispiel: .
0 0
Die Summe der geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte von ϕ ist stets
von Null verschieden.
Lösung: Nein. Gegenbeispiel: Die allgemeine Drehmatrix hat gar keine (rellen)
Eigenwerte.
4 Falls K = R und n = 5 ist, so hat ϕ einen Eigenwert.
Lösung: Ja. Das folgt aus dem Zwischenwertsatz der Analysis. Relle polynomiale
Funktionen von ungeradem Grad nehmen notwendigerweise sowohl positive
als auch negative Werte an. Daher müssen Sie auch den Wert Null annehmen.
Insbesondere hat das charakteristische Polynom von ϕ also eine Nullstelle.
Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt genauer, dass reelle Polynome vom
Grad 5 genau eine, drei oder aber fünf reelle Nullstellen haben. Der Satz besagt,
dass jedes Polynom in C[X], damit auch das charakteristische Polynom, in
Linearfaktoren zerfällt. Für Polynome in C[X] mit rein reellen Koeffizienten treten
die Nullstellen in Paaren zueinander komplex konjugierter Zahlen auf. Jede
Nullstelle ist also entweder rein reell, oder aber sie ist komplex und ihr komplex
konjugiertes ist auch Nullstelle.
Also hat ein reelles Polynom vom Grad 5 genau eine, drei oder fünf reelle Nullstellen.
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein