¨Ubungsblatt 1

3 Jedes normierte Polynom vom Grad n über K ist charakteristisches Polynom
eines Endomorphismus von V .
Lösung: Ja. Man konstruiert diesen Endomorphismus wie im Beweis von Theorem
4.5.7 (Cayley-Hamilton) in der Vorlesung.
4 Jedes normierte Polynom vom Grad n über K ist Minimalpolynom eines Endomorphismus
von V .
Lösung: Ja. Zunächst konstruiert man einen Endomorphismus mit dem gegebenen
Polynom als charakteristischem Polynom, wie im Beweis von Theorem
4.5.7 (Cayley-Hamilton) in der Vorlesung.
Aus dem Beweis geht außerdem hervor, dass für den so konstruierten Endomorphismus
charakteristisches Polynom P A und Minimalpolynom µ A übereinstimmen.
Denn wäre
µ A =
m
∑
i=0
a i X i
ein echter Teiler von P A , so wäre der Grad m strikt kleiner als der Grad von P A .
Es folgt dann aber aus
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
0 = ˜µ A (A)v =
m
∑
i=0
a i A i v =
m
∑
i=0
a i v i ,
dass die im Beweis angenommene lineare Abhängigkeitsbeziehung nicht minimal
wäre, Widerspruch.
5 Hat P ϕ n paarweise verschiedene Nullstellen in K, so ist P ϕ = µ ϕ .
Lösung: Ja. Denn das Minimalpolynom teilt das charakteristische Polynom und
hat die gleichen Nullstellen.
6 Ist P ϕ = µ ϕ , so hat der Endomorphismus ϕ mindestens einen Eigenwert.
Lösung: Nein. Gegenbeispiel: Drehmatrix im R 2 .
7 Ist die Summe der Koeffizienten des charakteristischen Polynoms P ϕ gleich 0,
so ist 1 Eigenwert von ϕ.
Lösung: Ja. Denn dann ist ˜P ϕ (1) = 0.
8 Ist die Summe der Koeffizienten des Minimalpolynoms µ ϕ gleich 0, so ist 1
Eigenwert von ϕ.
9 Sei
Lösung: Ja. Denn dann ist ˜µ ϕ (1) = 0.
⎛
⎞
1 0 ... 0
0 2 ... 0
A = ⎜
⎟ ∈ M(n × n,R)
⎝ ... ... ... ... ⎠
0 0 ... n
und B ∈ M(n × n,R) diagonalisierbar. Es gelte AB = BA; ist dann B notwendigerweise
eine Diagonalmatrix?
Bemerekung
Die Forderung, dass B diagonalisierbar ist, ist nicht notwendig.
Die folgenden Aufgaben sind schriftlich zu bearbeiten.
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein
○ Ja /○ Nein