¨Ubungsblatt 1

Übungsblatt 9
zur Vorlesung Lineare Algebra und Analytische Geometrie II im Sommersemester 2008
Christoph Schweigert
Erstellt am 17.06.2008, 17:39 Uhr für Matrikelnummer CHECKING ALL VARIANTS. Abgabezeitpunkt ist
16.06.2008, 08:00 Uhr.
1 Seien V und W endlichdimensionale K-Vektorräume und F : V → W eine lineare Abbildung mit zugehöriger
dualer Abbildung F ∗ : W ∗ → V ∗ . Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
1.1 Mit F ist auch stets F ∗ injektiv.
Lösung: Falsch.
○ Wahr /○ Falsch
F : K → K 3 mit F(λ) = λe 1 ist injektiv. F ∗ ist eine Abbildung von einem dreidimensionalen
in einen ein-dimensionalen Vektorraum und kann wegen der Dimensionsformel
nicht injektiv sein.
Mit F ist auch stets F ∗ surjektiv.
○ Wahr /○ Falsch
Lösung: Falsch.
F : K 3 → K mit F(∑x i e i ) = x 1 ist surjektiv. F ∗ ist eine Abbildung von einem
ein-dimensionalen in einen drei-dimensionalen Vektorraum und kann wegen der
Dimensionsformel nicht surjektiv sein.
1.2 F ∗ ist genau dann surjektiv, wenn F injektiv ist.
○ Wahr /○ Falsch
Lösung: Wahr.
F ∗ ist genau dann injektiv, wenn (ImF) 0 = KerF ∗ = {0} gilt. Dies ist aber genau
dann der Fall, wenn ImF = W gilt.
F ∗ ist genau dann injektiv, wenn F surjektiv ist.
○ Wahr /○ Falsch
Lösung: Wahr.
F ∗ ist genau dann surjektiv, wenn (KerF) 0 = ImF ∗ = V ∗ gilt. Dies ist aber genau
dann der Fall, wenn KerF = {0} gilt.
1.3 Gelte dim K V = dim K W. F ∗ ist genau dann injektiv, wenn F injektiv ist.
○ Wahr /○ Falsch
Lösung: Wahr.
Aus F ∗ injektiv folgt, wegen dim K V = dim K W, dass F ∗ auch surjektiv ist. Nach
der vorigen Aufgabe ist daher F injektiv.
Gelte dim K V = dim K W. F ∗ ist genau dann surjektiv, wenn F surjektiv ist.
○ Wahr /○ Falsch
Lösung: Wahr.
Aus F ∗ surjektiv folgt, wegen dim K V = dim K W, dass F ∗ auch injektiv ist. Nach
der vorigen Aufgabe ist daher F surjektiv.