¨Ubungsblatt 1

5 (5 Punkte) Sei K ein beliebiger Körper und ϕ ein Endomorphismus eines K-Vektorraums V . Zeigen Sie:
Ist jeder Vektor v ∈ V \ {0} ein Eigenvektor, so gibt es ein a ∈ K, so dass ϕ = aid V gilt.
Lösung:
Seien v 1 ≠ 0 und v 2 ≠ 0 Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ 1 und λ 2 . Sind λ 1 und λ 2 verschieden, so
ist (v 1 ,v 2 ) linear unabhängig. Wir betrachten die Summe v 1 + v 2 . Nach Annahme ist auch dies wieder ein
Eigenvektor, es gibt also a ∈ K so dass
λ 1 v 1 + λ 2 v 2 = ϕ(v 1 + v 2 ) = av 1 + av 2
gilt. Aus der linearen Unabhängigkeit von v 1 ,v 2 folgt λ 1 = λ 2 = a.
6 Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Sei M eine nicht-leere Teilmenge von End(V ) mit der
Eigenschaft, dass V und {0} die einzigen Unterräume von V sind, die unter allen ϕ ∈ M invariant sind.
Sei ψ ≠ 0 ein Endomorphismus von V , der mit allen ϕ ∈ M vertauscht.
Zeigen Sie:
(i) (5 Punkte) ψ ist ein Automorphismus.
(ii) (5 Punkte) Im Falle K = C hat ψ sogar die Gestalt ψ = aid V mit einem a ∈ C \ {0}.
Lösung:
i) Wir nehmen an, dass dim K kerψ > 0 und führen dies zu einem Widerspruch.
Wähle also ein v ∈ kerψ und ein ϕ ∈ M, so dass ϕ(v) ∉ ker ψ. Die Existenz eines solchen ϕ folgt aus der
Annahme, denn sonst wäre der echte Unterraum kerψ invariant unter allen ϕ ∈ M.
Offensichtlich ist dann ϕ(ψ(v)) = 0 und ψ(ϕ(v)) ≠ 0. Das widerspricht der Annahme, dass ψ und ϕ
vertauschen.
Also muss dim K kerψ = 0 gelten. Es folgt damit, dass V endlich-dimensional ist, dass ψ ein invertierbarer
Endomorphismus (= Automorphismus) ist.
ii) Da K = C, hat ψ wenigstens einen Eigenwert a. Betrachte den Endomorphismus ˜ψ := ψ − aid V , der
ebenso mit allen ϕ ∈ M vertauscht. Wäre dieser Endomorphismus nicht Null, so wäre er nach (i) ein
Automorphismus. Das kann aber nicht sein, da es einen Eigenvektor von ψ zum Eigenwert a gibt, der im
Kern von ˜ψ liegt, so dass ˜ψ kein Automorphismus ist. Also ist ˜ψ = 0.
7 (10 Punkte)
Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum der Dimension n. Seien f 1 ,..., f m ∈ V ∗ Linearformen und sei
U = ker f 1 ∩ ... ∩ ker f m . Zeigen Sie, dass dim K U ≥ n − m gilt.
Lösung:
Wir können ohne Einschränkung annehmen, dass alle f i von Null verschieden sind.
Die Räume ker f i haben nach der Dimensionsformel die Dimension n − 1, sind also Hyperebenen. Sei
allgemein H eine Hyperebene und W ein Untervektorraum von V . Nach Satz 1.5.3 gilt dann dim K (W ∩
H) ≥ dim K W − 1. Per Induktion nach m folgt dann leicht die Aussage.