pdf (18647 Kb) - Fachgebiet Datenbanken und Informationssysteme ...

Das Zuordnungsproblem
Beim Zuordnungsproblem wird versucht, ein Matching M i in einem gewichteten, bipartiten
Graphen M zu finden, das das totale Gewicht ∑ (x,y)∈M i
σ(x, y) maximiert. Verglichen
mit dem Stable-Marriage-Problem bedeutet das, dass beim Zuordnungsproblem
das Matching gesucht wird, bei dem die Gesamtzufriedenheit der Männer und Frauen
am größten ist, was nicht heißen muss, dass ein solches Matching stabil im Sinne einer
Stable Marriage wäre.
Das Matching bzw. die Stable Marriage M 1 , die sich im Beispiel in Abbildung 4.5 ergibt,
ist auch im Sinne des Zuordnungsproblems optimal. Hierbei ist ∑ (x,y)∈M 1
σ(x, y) =
0.9 + 0.7 + 0.7 + 0.7 = 3.0, was dem maximalen Wert entspricht, den eine Zuordnung
für die Mengen liefern kann. Zum Vergleich wäre etwa eine Zuordnung M 2 =
{(m 1 , w 1 ), (m 2 , w 2 ), (m 3 , w 3 ), (m 4 , w 4 )} mit ∑ (x,y)∈M 2
σ(x, y) = 0.3 + 0.9 + 0 + 0.7 = 1.9
im Sinne des Zuordnungsproblems nicht optimal.
Ein Algorithmus, der das Zuordnungsproblem löst, ist die Hungarian method, die in
[Kuh55] im Jahr 1955 vorgestellt wurde. Dabei wird eine Matrix erzeugt, in der die
zuzuordnenden Paare mit den jeweiligen Gewichten eingetragen werden. Anschließend
werden in 4 Schritten bestimmte Zeilen- und Spaltenoperationen ausgeführt, bis in der
Matrix in jeder Zeile und Spalte mindestens eine 0 steht. Daraus lässt sich dann die
optimale Zuordnung ablesen. Bei dem Verfahren wird zwar eigentlich eine minimale
Lösung (also eine Zuordnung, bei der die Summe der Gewichte minimal ist) gesucht,
es lässt sich aber ohne Probleme auch für maximale Lösungen anwenden, sodass das
Ergebnis, das am Beispiel in Abbildung 4.5 errechnet wurde, auch mit der Hungarian
method ermittelt werden könnte.
Maximale, Maximum- und perfekte Matchings
Unter einem maximalen Matching versteht man ein Matching, das in keinem anderen
Matching enthalten ist. Ein Maximum-Matching ist ein Matching mit maximaler Kardinalität,
d.h. bezogen auf das Hochzeitsbeispiel mit der größten Anzahl verheirateter
Paare. Ein perfektes (oder vollständiges) Matching ist das Matching, bei dem jeder Mann
und jede Frau verheiratet wäre.
Das Matching M 1 aus dem Beispiel in Abbildung 4.5 ist maximal, da es in keinem
anderen möglichen Matching, das sich aus den beiden Mengen bilden lässt, enthalten
sein kann. Es ist ein Maximum-Mapping, da es die maximal mögliche Zahl von 4 Paaren
enthält, und perfekt, weil jedes Element aus M und jedes Element aus W zugeordnet
wurden.
Ein Matching M 3 = {(m 1 , w 3 ), (m 2 , w 2 ), (m 3 , w 1 )} wäre dagegen weder maximal noch
ein Maximum-Matching oder perfekt, weil es in M 1 enthalten ist, nicht die maximale
Anzahl möglicher Paare enthält und nicht alle Elemente der Mengen zuordnet.
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