JAHRESBERICHT 2002/2003 - Fakultät für Mathematik - Otto-von ...

46 B Institute
Die bisher beste Schranke für solch ” freie Ebenen“ war eine Konstante, d. h.
unabhängig von der Dimension. Die Frage, ob die maximale Dimension einer
freien Ebene sogar linear in der Dimension des Raumes ist, bleibt offen und
zu untersuchen.
• Polynome und Polytope: In einer gemeinsamen Arbeit mit Hartwig Bosse
und Martin Grötschel wurde gezeigt, dass sich jedes n-dimensionale Polytope
durch höchstens 2 n−1 Polynomungleichungen beschreiben lässt. Insbesondere
erhält man eine Beschreibung eines Polytopes durch eine Anzahl von Ungleichungen,
die unabhängig von der Seitenstruktur des Polytopes ist. Inwieweit
man solche ” Polynombeschreibungen“ bzw. geeignete Approximationen von
Polytopen durch Polynomungleichungen, für algorithmische Methoden zum
Lösen von Optimierungsproblemen benutzen kann, soll u. a. im weiteren untersucht
werden.
• Extremaleigenschaften von Gittern: Es wurden Algorithmen entwickelt, um
Extremaleigenschaften wie simultane Packungs- und Überdeckungsradien von
Gittern zu berechnen. Mit Hilfe einer in C++ programmierten Umsetzung wurden
alle auf diesem Gebiet bisher bekannten Ergebnisse verifiziert. Zudem wurden
neue, beste Gitter in Dimension 6 gefunden. Der Beweis der Optimalität
der gefundenen Gitter beliebt ein zu untersuchendes Problem.
• Konvexe-Hülle-Algorithmen für symmetrische Polytope: Es wurden (und
werden) Algorithmen zur Berechnung von Ecken eines durch Facetten und
spezielle Symmetriegruppen gegebenes Polytop auf ihre Praktikabilität hin
untersucht. Mit Hilfe des sogenannten ” Algorithmus von Voronoï“ wird untersucht,
ob es möglich ist zentrale, klassische zahlentheoretische Probleme, wie
die Berechnung der Hermite Konstanten, algorithmisch anzugehen.
Kombinatorik
Ein Hauptgegenstand der Forschung war die Untersuchung der Existenz von
perfekten Codes in Johnson Graphen. Eine 30 Jahre alte Vermutung von Delsarte
sagt, dass keine solche nichttrivialen perfekten Codes existieren. Es wurden
explizite Teilbarkeitsbedingungen für die Existenz hergeleitet, welche in
eleganter Weise die bekannte Hamming-Bedingung nach sich ziehen. Die Auswertung
dieser Teilbarkeitsbedingungen erweist sich jedoch als schwierig, daran
wird weiterhin gearbeitet.
Ein zweiter Hauptgegenstand der Forschung liegt in der kombinatorischen
Extremal-Theorie:
• In Zusammenarbeit mit S. Hartmann (Massey) wurden Durchschnittsprobleme
im Sinne von Erdös-Ko-Rado für den Partitionsverband untersucht.
Resultate konnten erzielt werden für Partitionen, in welchen die Blockgröße
konstant und die Anzahl der Blöcke groß ist. Diese Forschungen sind motiviert