JAHRESBERICHT 2002/2003 - Fakultät für Mathematik - Otto-von ...

B.3 Institut für Mathematische Optimierung 91
zur Lösung allgemeiner gemischt-ganzzahliger Programme zu entwerfen. Beginnend
mit einer zulässigen Lösung des Problems modifiziert das Verfahren
die Spalten der Nebenbedingungsmatrix bis eine augmentierende Richtung gefunden
wird oder aber ein Beweis für die Optimalität der Lösung erbracht
ist. Das praktische Potential der Methode wurde an vielen Beispielen aus dem
Bereich der Diskreten Optimierung dargestellt.
Kombinatorische Optimierung
Einen wichtigen Schwerpunkt im Berichtszeitraum bildeten kombinatorische
Algorithmen für strukturierte 0/1-Opimierungsprobleme. Kombinatorische Algorithmen
basieren auf der mathematischen Struktur des zugrundeliegenden
Problems. Insbesondere gelang es, den ersten bekannten kombinatorischen Algorithmus
für das unabhängige path-matching Problem anzugeben. Dabei handelt
es sich um eine Verallgemeinerung der wohl grundlegendsten und schwierigsten
Algorithmen der kombinatorischen Optimierung, für das Matchingund
das Matroiddurchschnittproblem.
Für das stabile Mengenproblem wurde eine Methode abgeleitet, welche nach
endlich vielen Schritten einen beliebigen Graphen in einen sogenannten perfekten
Graphen konvertiert. Die Schritte des Verfahrens sind wiederum rein kombinatorisch.
Sie basieren auf Transformationen des ursprünglichen Graphen in
Graphen mit möglicherweise mehr Knoten und Kanten, aber im Allgemeinen
geringerer Stabilitätszahl.
Polyedrische Kombinatorik
Zulässige Lösungsbereiche diskreter Optimierungsprobleme werden zur Lösung
des Problems in konvexe polyedrische Mengen eingebettet. Da die Lösung
linearer Optimierungsprobleme mit effektiven Solvern möglich wird, ist die
Beschreibung der ganzzahligen Polyeder in der Nähe der optimalen (nicht
ganzzahligen) Lösung hilfreich. Es zeigte sich, dass mit Hilfe der Gittertheorie
Ungleichungen für allgemeine gemischt ganzzahlige Optimierungsprobleme
abgeleitet werden können. Die geschickte Konstruktion von Facetten auf der
Basis eines matroidalen Zugangs führt zur Verbesserung der Algorithmen und
Lösung größerer Probleme.
Stetige Optimierung
Die Untersuchungen zur stetigen Optimierung galten dem Einsatz semiinfiniter
Optimierungstechniken, insbesondere der semiinfiniten Dualitätstheorie,
als Werkzeug in der Konvexgeometrie. Sobald lineare Systeme zur Beschreibung
eines konvexen Körpers vorliegen (z. B. liefert die Darstellung eines konvexen
Körpers als Durchschnitt aller seiner Stützhalbräume ein System von i. a.
unendlich vielen Ungleichungen), lassen sich gewisse extremale Überdeckungsund
Einbettungsprobleme als semiinfinite Optimierungsprobleme erfassen und