JAHRESBERICHT 2002/2003 - Fakultät für Mathematik - Otto-von ...
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B.1 Institut <strong>für</strong> Algebra und Geometrie 47<br />
durch und haben Anwendungen im Design <strong>von</strong> Datenbanken.<br />
• Es wurde das kantenisoperimetrische Problem <strong>für</strong> vollständige Hypergraphen<br />
untersucht (Kleitman-West Problem), und ein neuer Beweis im Fall <strong>von</strong><br />
Graphen gegeben.<br />
• Die Arbeiten zur Polynomialen LYM Ungleichung wurden fortgeführt.<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong><br />
Schwerpunkt der Arbeit in der Diskreten <strong>Mathematik</strong> war das Studieren <strong>von</strong><br />
Sequenzen mit guten Korrelationseigenschaften sowie eine tiefergehende Analysis<br />
des Zusammenhangs zwischen differentiellen und linearen Eigenschaften<br />
<strong>von</strong> Abbildungen. Motiviert werden diese Untersuchungen durch Problemstellungen<br />
aus der Kryptographie und Codierungstheorie.<br />
Ziele:<br />
• Konstruktion neuer korrelations-immuner Funktionen<br />
• Konstruktion neuer perfekter Folgen<br />
• Notwendige Bedingungen <strong>für</strong> die Existenz fast perfekter Folgen<br />
• Bestimmung der Kreuzkorrelation zwischen verschiedenen perfekten Folgen.<br />
Reine <strong>Mathematik</strong><br />
Neben einer grundlegenden Arbeit <strong>von</strong> Berman in den 60er Jahren, die methodenmäßig<br />
Anlaß zu einigen weiteren Arbeiten gab, ist die Darstellungstheorie<br />
in der Codierungstheorie kaum benutzt worden. Dies ist um so erstaunlicher, da<br />
die bekannten guten Codes alle nicht-triviale Automorphismen erlauben, also<br />
Moduln <strong>für</strong> eine geeignete Gruppe sind. Im Jahr 2001 wurde hier insbesondere<br />
in Kooperation mit Prof. C. Martinez-Pérez (Zaragoza) ein Anfang gemacht.<br />
Es stellte sich heraus, dass diese neuartigen Methoden sehr schlagkräftig sind.<br />
Nicht nur bekannte Resultate haben kurze erhellende Beweise gefunden, sondern<br />
die Methoden führten auch häufig zu überraschenden neuen Ergebnissen.<br />
So gilt <strong>für</strong> binäre erweiterte Gruppencodes die Umkehrung eines sehr berühmten<br />
Satzes <strong>von</strong> Gleason. Z. Z. wird versucht, über diesen neuartigen Zugang die<br />
mehr als 40-jährige Frage zu beantworten, ob die Klasse der zyklischen Codes<br />
- diese spielen in den Anwendungen die zentrale Rolle - gut sind.<br />
Algebra<br />
Die Forschungsthemen der Arbeitsgruppe Algebra liegen im Bereich der Darstellungstheorie<br />
endlicher Gruppen und Algebren und in der Algebraischen<br />
Kombinatorik.<br />
In Kooperation mit J. Olsson (Kopenhagen) wurden Cartan-Matrizen zu den<br />
Spin-Darstellungen der symmetrischen Gruppen Sn untersucht. Während des<br />
Forschungsaufenthaltes <strong>von</strong> Dr. M. R. Pournaki (Institute for Studies in Theoretical<br />
Physics and Mathematics, Teheran/Iran) am Institut wurden Symmetrieklassen<br />
<strong>von</strong> Tensoren zu speziellen Charakteren der symmetrischen Gruppe
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