A history of Greek mathematics Vol.II from Aristarchus to Diophantus by Heath, Thomas Little, Sir, 1921
MACEDONIA is GREECE and will always be GREECE- (if they are desperate to steal a name, Monkeydonkeys suits them just fine) ΚΑΤΩ Η ΣΥΓΚΥΒΕΡΝΗΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΔΟΤΩΝ!!! ΦΕΚ,ΚΚΕ,ΚΝΕ,ΚΟΜΜΟΥΝΙΣΜΟΣ,ΣΥΡΙΖΑ,ΠΑΣΟΚ,ΝΕΑ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ,ΕΓΚΛΗΜΑΤΑ,ΔΑΠ-ΝΔΦΚ, MACEDONIA,ΣΥΜΜΟΡΙΤΟΠΟΛΕΜΟΣ,ΠΡΟΣΦΟΡΕΣ,ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ,ΕΝΟΠΛΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ,ΣΤΡΑΤΟΣ, ΑΕΡΟΠΟΡΙΑ,ΑΣΤΥΝΟΜΙΑ,ΔΗΜΑΡΧΕΙΟ,ΝΟΜΑΡΧΙΑ,ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ,ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ,ΔΗΜΟΣ,LIFO,ΛΑΡΙΣΑ, ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ,ΕΚΚΛΗΣΙΑ,ΟΝΝΕΔ,ΜΟΝΗ,ΠΑΤΡΙΑΡΧΕΙΟ,ΜΕΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ,ΙΑΤΡΙΚΗ,ΟΛΜΕ,ΑΕΚ,ΠΑΟΚ,ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΑ,ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ,ΔΙΚΗΓΟΡΙΚΟΣ,ΕΠΙΠΛΟ, ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΓΡΑΦΙΚΟΣ,ΕΛΛΗΝΙΚΑ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ,ΝΕΟΛΑΙΑ,ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ,ΙΣΤΟΡΙΑ,ΙΣΤΟΡΙΚΑ,ΑΥΓΗ,ΤΑ ΝΕΑ,ΕΘΝΟΣ,ΣΟΣΙΑΛΙΣΜΟΣ,LEFT,ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ,ΚΟΚΚΙΝΟ,ATHENS VOICE,ΧΡΗΜΑ,ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ,ΕΝΕΡΓΕΙΑ, ΡΑΤΣΙΣΜΟΣ,ΠΡΟΣΦΥΓΕΣ,GREECE,ΚΟΣΜΟΣ,ΜΑΓΕΙΡΙΚΗ,ΣΥΝΤΑΓΕΣ,ΕΛΛΗΝΙΣΜΟΣ,ΕΛΛΑΔΑ, ΕΜΦΥΛΙΟΣ,ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ,ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ,ΡΑΔΙΟΦΩΝΟ,ΓΥΜΝΑΣΤΙΚΗ,ΑΓΡΟΤΙΚΗ,ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ, ΜΥΤΙΛΗΝΗ,ΧΙΟΣ,ΣΑΜΟΣ,ΠΑΤΡΙΔΑ,ΒΙΒΛΙΟ,ΕΡΕΥΝΑ,ΠΟΛΙΤΙΚΗ,ΚΥΝΗΓΕΤΙΚΑ,ΚΥΝΗΓΙ,ΘΡΙΛΕΡ, ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ,ΤΕΥΧΟΣ,ΜΥΘΙΣΤΟΡΗΜΑ,ΑΔΩΝΙΣ ΓΕΩΡΓΙΑΔΗΣ,GEORGIADIS,ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΕΣ ΙΣΤΟΡΙΕΣ, ΑΣΤΥΝΟΜΙΚΑ,ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ,ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ,ΙΚΕΑ,ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ,ΑΤΤΙΚΗ,ΘΡΑΚΗ,ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ,ΠΑΤΡΑ, ΙΟΝΙΟ,ΚΕΡΚΥΡΑ,ΚΩΣ,ΡΟΔΟΣ,ΚΑΒΑΛΑ,ΜΟΔΑ,ΔΡΑΜΑ,ΣΕΡΡΕΣ,ΕΥΡΥΤΑΝΙΑ,ΠΑΡΓΑ,ΚΕΦΑΛΟΝΙΑ, ΙΩΑΝΝΙΝΑ,ΛΕΥΚΑΔΑ,ΣΠΑΡΤΗ,ΠΑΞΟΙ
MACEDONIA is GREECE and will always be GREECE- (if they are desperate to steal a name, Monkeydonkeys suits them just fine)
ΚΑΤΩ Η ΣΥΓΚΥΒΕΡΝΗΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΔΟΤΩΝ!!!
ΦΕΚ,ΚΚΕ,ΚΝΕ,ΚΟΜΜΟΥΝΙΣΜΟΣ,ΣΥΡΙΖΑ,ΠΑΣΟΚ,ΝΕΑ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ,ΕΓΚΛΗΜΑΤΑ,ΔΑΠ-ΝΔΦΚ, MACEDONIA,ΣΥΜΜΟΡΙΤΟΠΟΛΕΜΟΣ,ΠΡΟΣΦΟΡΕΣ,ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ,ΕΝΟΠΛΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ,ΣΤΡΑΤΟΣ, ΑΕΡΟΠΟΡΙΑ,ΑΣΤΥΝΟΜΙΑ,ΔΗΜΑΡΧΕΙΟ,ΝΟΜΑΡΧΙΑ,ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ,ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ,ΔΗΜΟΣ,LIFO,ΛΑΡΙΣΑ, ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ,ΕΚΚΛΗΣΙΑ,ΟΝΝΕΔ,ΜΟΝΗ,ΠΑΤΡΙΑΡΧΕΙΟ,ΜΕΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ,ΙΑΤΡΙΚΗ,ΟΛΜΕ,ΑΕΚ,ΠΑΟΚ,ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΑ,ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ,ΔΙΚΗΓΟΡΙΚΟΣ,ΕΠΙΠΛΟ, ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΓΡΑΦΙΚΟΣ,ΕΛΛΗΝΙΚΑ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ,ΝΕΟΛΑΙΑ,ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ,ΙΣΤΟΡΙΑ,ΙΣΤΟΡΙΚΑ,ΑΥΓΗ,ΤΑ ΝΕΑ,ΕΘΝΟΣ,ΣΟΣΙΑΛΙΣΜΟΣ,LEFT,ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ,ΚΟΚΚΙΝΟ,ATHENS VOICE,ΧΡΗΜΑ,ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ,ΕΝΕΡΓΕΙΑ, ΡΑΤΣΙΣΜΟΣ,ΠΡΟΣΦΥΓΕΣ,GREECE,ΚΟΣΜΟΣ,ΜΑΓΕΙΡΙΚΗ,ΣΥΝΤΑΓΕΣ,ΕΛΛΗΝΙΣΜΟΣ,ΕΛΛΑΔΑ, ΕΜΦΥΛΙΟΣ,ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ,ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ,ΡΑΔΙΟΦΩΝΟ,ΓΥΜΝΑΣΤΙΚΗ,ΑΓΡΟΤΙΚΗ,ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ, ΜΥΤΙΛΗΝΗ,ΧΙΟΣ,ΣΑΜΟΣ,ΠΑΤΡΙΔΑ,ΒΙΒΛΙΟ,ΕΡΕΥΝΑ,ΠΟΛΙΤΙΚΗ,ΚΥΝΗΓΕΤΙΚΑ,ΚΥΝΗΓΙ,ΘΡΙΛΕΡ, ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ,ΤΕΥΧΟΣ,ΜΥΘΙΣΤΟΡΗΜΑ,ΑΔΩΝΙΣ ΓΕΩΡΓΙΑΔΗΣ,GEORGIADIS,ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΕΣ ΙΣΤΟΡΙΕΣ, ΑΣΤΥΝΟΜΙΚΑ,ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ,ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ,ΙΚΕΑ,ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ,ΑΤΤΙΚΗ,ΘΡΑΚΗ,ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ,ΠΑΤΡΑ, ΙΟΝΙΟ,ΚΕΡΚΥΡΑ,ΚΩΣ,ΡΟΔΟΣ,ΚΑΒΑΛΑ,ΜΟΔΑ,ΔΡΑΜΑ,ΣΕΡΡΕΣ,ΕΥΡΥΤΑΝΙΑ,ΠΑΡΓΑ,ΚΕΦΑΛΟΝΙΑ, ΙΩΑΝΝΙΝΑ,ΛΕΥΚΑΔΑ,ΣΠΑΡΤΗ,ΠΑΞΟΙ
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
PERSEUS 205<br />
dicular distance <strong>of</strong> the plane <strong>of</strong> section <strong>from</strong> the axis <strong>of</strong> rotation,<br />
we can distinguish the following cases :<br />
(1)<br />
c + a>d>c. Here the curve is an oval.<br />
(2) d = c: transition <strong>from</strong> case (1) <strong>to</strong> the next case.<br />
(3) od>c — a. The curve is now a closed curve narrowest<br />
in the middle.<br />
(4) d = c — a. In this case the curve is the hi r ppopede<br />
(horse-fetter), a curve in the shape <strong>of</strong> the figure <strong>of</strong> 8. The<br />
lemniscate <strong>of</strong> Bernoulli is a particular case <strong>of</strong> this curve, that<br />
namely in which c = 2 a.<br />
c — a>d>0. In this case the section consists <strong>of</strong> two<br />
(5)<br />
ovals symmetrical with one another.<br />
The three curves specified<br />
<strong>by</strong> Proclus are those corresponding<br />
<strong>to</strong> (1), (3) and (4).<br />
When the <strong>to</strong>re is ' continuous ' or closed, c = a, and we have<br />
sections corresponding <strong>to</strong> (1), (2) and (3) only; (4) reduces <strong>to</strong><br />
two circles <strong>to</strong>uching one another.<br />
But Tannery finds in the third, the interlaced, form <strong>of</strong> <strong>to</strong>re<br />
three new sections corresponding <strong>to</strong> (1) (2) (3), each with an<br />
oval in the middle. This would make three curves in addition<br />
<strong>to</strong> the five sections, or eight curves in all. We cannot be<br />
certain that this is the true explanation <strong>of</strong> the phrase in the<br />
epigram ;<br />
but it seems <strong>to</strong>' be the best suggestion that has<br />
been made.<br />
According <strong>to</strong><br />
Proclus, Perseus worked out the property <strong>of</strong><br />
his curves, as Nicomedes did that <strong>of</strong> the conchoid, Hippias<br />
that <strong>of</strong> the quadratrix, and Apollonius those <strong>of</strong> the three<br />
conic sections. That is, Perseus must have given, in some<br />
form, the equivalent <strong>of</strong> the Cartesian equation <strong>by</strong> which we<br />
can represent the different curves in question.<br />
If we refer the<br />
<strong>to</strong>re <strong>to</strong> three axes <strong>of</strong> coordinates at right angles <strong>to</strong> one another<br />
with the centre <strong>of</strong> the <strong>to</strong>re as origin, the axis <strong>of</strong> y being taken<br />
<strong>to</strong> be the axis <strong>of</strong><br />
revolution, and those <strong>of</strong> 0, x being perpendicular<br />
<strong>to</strong> it in the plane bisecting the <strong>to</strong>re (making it a splitring),<br />
the equation <strong>of</strong> the <strong>to</strong>re is<br />
(x 2 -f y 2 + z 2 + c 2 — a 2 )<br />
2<br />
= 4 c 2 (z 2 + x 2 ),<br />
206 SUCCESSORS OF THE GREAT GEOMETERS<br />
where c, a have the same meaning as above. The different<br />
sections parallel <strong>to</strong> the axis <strong>of</strong> revolution are obtained <strong>by</strong><br />
giving (say) z any value between and c + a. For the value<br />
two fixed points as poles, W — const.<br />
z — a the curve is the oval <strong>of</strong> Cassini which has the property<br />
that, if r, r' be the distances <strong>of</strong> any point on the curve <strong>from</strong><br />
For, if z — a, the equation<br />
becomes<br />
(x 2 + y<br />
2<br />
+ c 2 )<br />
2<br />
= 4