A history of Greek mathematics Vol.II from Aristarchus to Diophantus by Heath, Thomas Little, Sir, 1921
MACEDONIA is GREECE and will always be GREECE- (if they are desperate to steal a name, Monkeydonkeys suits them just fine) ΚΑΤΩ Η ΣΥΓΚΥΒΕΡΝΗΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΔΟΤΩΝ!!! ΦΕΚ,ΚΚΕ,ΚΝΕ,ΚΟΜΜΟΥΝΙΣΜΟΣ,ΣΥΡΙΖΑ,ΠΑΣΟΚ,ΝΕΑ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ,ΕΓΚΛΗΜΑΤΑ,ΔΑΠ-ΝΔΦΚ, MACEDONIA,ΣΥΜΜΟΡΙΤΟΠΟΛΕΜΟΣ,ΠΡΟΣΦΟΡΕΣ,ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ,ΕΝΟΠΛΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ,ΣΤΡΑΤΟΣ, ΑΕΡΟΠΟΡΙΑ,ΑΣΤΥΝΟΜΙΑ,ΔΗΜΑΡΧΕΙΟ,ΝΟΜΑΡΧΙΑ,ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ,ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ,ΔΗΜΟΣ,LIFO,ΛΑΡΙΣΑ, ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ,ΕΚΚΛΗΣΙΑ,ΟΝΝΕΔ,ΜΟΝΗ,ΠΑΤΡΙΑΡΧΕΙΟ,ΜΕΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ,ΙΑΤΡΙΚΗ,ΟΛΜΕ,ΑΕΚ,ΠΑΟΚ,ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΑ,ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ,ΔΙΚΗΓΟΡΙΚΟΣ,ΕΠΙΠΛΟ, ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΓΡΑΦΙΚΟΣ,ΕΛΛΗΝΙΚΑ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ,ΝΕΟΛΑΙΑ,ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ,ΙΣΤΟΡΙΑ,ΙΣΤΟΡΙΚΑ,ΑΥΓΗ,ΤΑ ΝΕΑ,ΕΘΝΟΣ,ΣΟΣΙΑΛΙΣΜΟΣ,LEFT,ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ,ΚΟΚΚΙΝΟ,ATHENS VOICE,ΧΡΗΜΑ,ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ,ΕΝΕΡΓΕΙΑ, ΡΑΤΣΙΣΜΟΣ,ΠΡΟΣΦΥΓΕΣ,GREECE,ΚΟΣΜΟΣ,ΜΑΓΕΙΡΙΚΗ,ΣΥΝΤΑΓΕΣ,ΕΛΛΗΝΙΣΜΟΣ,ΕΛΛΑΔΑ, ΕΜΦΥΛΙΟΣ,ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ,ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ,ΡΑΔΙΟΦΩΝΟ,ΓΥΜΝΑΣΤΙΚΗ,ΑΓΡΟΤΙΚΗ,ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ, ΜΥΤΙΛΗΝΗ,ΧΙΟΣ,ΣΑΜΟΣ,ΠΑΤΡΙΔΑ,ΒΙΒΛΙΟ,ΕΡΕΥΝΑ,ΠΟΛΙΤΙΚΗ,ΚΥΝΗΓΕΤΙΚΑ,ΚΥΝΗΓΙ,ΘΡΙΛΕΡ, ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ,ΤΕΥΧΟΣ,ΜΥΘΙΣΤΟΡΗΜΑ,ΑΔΩΝΙΣ ΓΕΩΡΓΙΑΔΗΣ,GEORGIADIS,ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΕΣ ΙΣΤΟΡΙΕΣ, ΑΣΤΥΝΟΜΙΚΑ,ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ,ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ,ΙΚΕΑ,ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ,ΑΤΤΙΚΗ,ΘΡΑΚΗ,ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ,ΠΑΤΡΑ, ΙΟΝΙΟ,ΚΕΡΚΥΡΑ,ΚΩΣ,ΡΟΔΟΣ,ΚΑΒΑΛΑ,ΜΟΔΑ,ΔΡΑΜΑ,ΣΕΡΡΕΣ,ΕΥΡΥΤΑΝΙΑ,ΠΑΡΓΑ,ΚΕΦΑΛΟΝΙΑ, ΙΩΑΝΝΙΝΑ,ΛΕΥΚΑΔΑ,ΣΠΑΡΤΗ,ΠΑΞΟΙ
MACEDONIA is GREECE and will always be GREECE- (if they are desperate to steal a name, Monkeydonkeys suits them just fine)
ΚΑΤΩ Η ΣΥΓΚΥΒΕΡΝΗΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΔΟΤΩΝ!!!
ΦΕΚ,ΚΚΕ,ΚΝΕ,ΚΟΜΜΟΥΝΙΣΜΟΣ,ΣΥΡΙΖΑ,ΠΑΣΟΚ,ΝΕΑ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ,ΕΓΚΛΗΜΑΤΑ,ΔΑΠ-ΝΔΦΚ, MACEDONIA,ΣΥΜΜΟΡΙΤΟΠΟΛΕΜΟΣ,ΠΡΟΣΦΟΡΕΣ,ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ,ΕΝΟΠΛΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ,ΣΤΡΑΤΟΣ, ΑΕΡΟΠΟΡΙΑ,ΑΣΤΥΝΟΜΙΑ,ΔΗΜΑΡΧΕΙΟ,ΝΟΜΑΡΧΙΑ,ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ,ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ,ΔΗΜΟΣ,LIFO,ΛΑΡΙΣΑ, ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ,ΕΚΚΛΗΣΙΑ,ΟΝΝΕΔ,ΜΟΝΗ,ΠΑΤΡΙΑΡΧΕΙΟ,ΜΕΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ,ΙΑΤΡΙΚΗ,ΟΛΜΕ,ΑΕΚ,ΠΑΟΚ,ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΑ,ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ,ΔΙΚΗΓΟΡΙΚΟΣ,ΕΠΙΠΛΟ, ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΓΡΑΦΙΚΟΣ,ΕΛΛΗΝΙΚΑ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ,ΝΕΟΛΑΙΑ,ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ,ΙΣΤΟΡΙΑ,ΙΣΤΟΡΙΚΑ,ΑΥΓΗ,ΤΑ ΝΕΑ,ΕΘΝΟΣ,ΣΟΣΙΑΛΙΣΜΟΣ,LEFT,ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ,ΚΟΚΚΙΝΟ,ATHENS VOICE,ΧΡΗΜΑ,ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ,ΕΝΕΡΓΕΙΑ, ΡΑΤΣΙΣΜΟΣ,ΠΡΟΣΦΥΓΕΣ,GREECE,ΚΟΣΜΟΣ,ΜΑΓΕΙΡΙΚΗ,ΣΥΝΤΑΓΕΣ,ΕΛΛΗΝΙΣΜΟΣ,ΕΛΛΑΔΑ, ΕΜΦΥΛΙΟΣ,ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ,ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ,ΡΑΔΙΟΦΩΝΟ,ΓΥΜΝΑΣΤΙΚΗ,ΑΓΡΟΤΙΚΗ,ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ, ΜΥΤΙΛΗΝΗ,ΧΙΟΣ,ΣΑΜΟΣ,ΠΑΤΡΙΔΑ,ΒΙΒΛΙΟ,ΕΡΕΥΝΑ,ΠΟΛΙΤΙΚΗ,ΚΥΝΗΓΕΤΙΚΑ,ΚΥΝΗΓΙ,ΘΡΙΛΕΡ, ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ,ΤΕΥΧΟΣ,ΜΥΘΙΣΤΟΡΗΜΑ,ΑΔΩΝΙΣ ΓΕΩΡΓΙΑΔΗΣ,GEORGIADIS,ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΕΣ ΙΣΤΟΡΙΕΣ, ΑΣΤΥΝΟΜΙΚΑ,ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ,ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ,ΙΚΕΑ,ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ,ΑΤΤΙΚΗ,ΘΡΑΚΗ,ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ,ΠΑΤΡΑ, ΙΟΝΙΟ,ΚΕΡΚΥΡΑ,ΚΩΣ,ΡΟΔΟΣ,ΚΑΒΑΛΑ,ΜΟΔΑ,ΔΡΑΜΑ,ΣΕΡΡΕΣ,ΕΥΡΥΤΑΝΙΑ,ΠΑΡΓΑ,ΚΕΦΑΛΟΝΙΑ, ΙΩΑΝΝΙΝΑ,ΛΕΥΚΑΔΑ,ΣΠΑΡΤΗ,ΠΑΞΟΙ
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
INDETERMINATE ANALYSIS 511<br />
[The auxiliary right-angled triangle in this case must<br />
be such that<br />
m<br />
2<br />
hp — \pb .<br />
p (h —p) is a square.<br />
If, says <strong>Diophantus</strong> (VI. 14), we form a triangle <strong>from</strong><br />
the numbers X lt<br />
X 2<br />
and suppose that p = 2X X<br />
X 2<br />
, and if<br />
we then divide out <strong>by</strong> (X x<br />
—<br />
2<br />
X 2)<br />
, which is equal <strong>to</strong> h ~p,<br />
we must find a square k 2 = m<br />
[ f 2 2<br />
/(X 1<br />
— X 2 ) ] such that<br />
k 2 hp — ^pb .p is a square.<br />
The problem, says <strong>Diophantus</strong>, can be solved if X 1}<br />
X<<br />
are ' similar plane numbers ' (numbers such as ab, — ab).<br />
m<br />
2<br />
n 2 }<br />
This is stated without pro<strong>of</strong>, but it can easily be verified<br />
that, if Jc 2 = X 1<br />
X 2<br />
,<br />
the expression is a square. Dioph.<br />
takes 4, 1 as the numbers, so that h 2 = 4. The equation<br />
for m becomes<br />
8 . 17m 2 -4 .<br />
15 . 8 . 9 = a square,<br />
or 136m 2 — 4 3 2 = a square.<br />
The solution m 2 =36 (derived <strong>from</strong> the fact that<br />
Jc 2 = m 2 /(X 1<br />
-X 2 f, or 4 = m 2 /3 2 )<br />
satisfies the condition that<br />
m 2 hp — ±pb .p(h—p) is a square.]<br />
VI. 16. i + v = x, i/rj = y/z.<br />
[To find a rational right-angled triangle such that the<br />
number representing the (portion intercepted within<br />
the triangle <strong>of</strong> the) bisec<strong>to</strong>r <strong>of</strong> an acute angle is rational.<br />
2<br />
512 DIOPHANTUS OF ALEXANDRIA<br />
so that AG = 4 (n £). Therefore (Eucl. I. 47)<br />
16(n 2 — 2n£ + g<br />
2<br />
)<br />
= 16£<br />
2<br />
+ 9^ 2<br />
so that £ = 7 ri 1 / 32 n = ^w. [Dioph. has n = 1.]<br />
r<br />
VI. 17. \xy-\-z = ti 2 , cc + 2/ + ^ = u 3 .<br />
[Let £ be the area Jar?/, and let z — k 2 — £. Since<br />
xy = 2£, suppose x = 2, y = £. Therefore 2 + & 2 must<br />
be a cube. As we have seen (p. 475), <strong>Diophantus</strong><br />
takes (m — l) 3 for the cube and (m+1) 2 for k 2 giving<br />
,<br />
m 3 — 3m 2 + 3 m — 1 =m 2 + 2 m + 3, whence rn = 4. Therefore<br />
A; = 5, and we assume \xy = £ s = 25 —<br />
3 £, with<br />
a? = 2, y = i as before. Then we have <strong>to</strong> make<br />
(25-£) 2 = 4 + £<br />
2<br />
, and<br />
£ = «?-.]<br />
VI. 1 8. -!#?/ + = u 3 , x + y ±z = v 2 .<br />
"<br />
vi. i9. 4^2/ + x — u2 ><br />
®+y+z<br />
= v 3 '<br />
[Here a right-angled triangle is formed <strong>from</strong> one odd<br />
number, say 2£+l, according <strong>to</strong> the Pythagorean formula<br />
m 2 + {-|(m 2 — l)} 2 = {-|(m 2 +l)} 2 ,<br />
where m is an<br />
odd number. The sides are therefore 2£+l, 2£ 2 +2|,<br />
2 £<br />
2<br />
-f 2 £ + 1 . Since the perimeter == a cube,<br />
4£ 2 + 6£ + 2 = (4£ + 2) (£+1) = a cube.<br />
Or, if we divide the sides <strong>by</strong> £+1, 4 £ + 2 has <strong>to</strong> be.<br />
made a cube.<br />
a<br />
Again \xy + x =<br />
/