A history of Greek mathematics Vol.II from Aristarchus to Diophantus by Heath, Thomas Little, Sir, 1921
MACEDONIA is GREECE and will always be GREECE- (if they are desperate to steal a name, Monkeydonkeys suits them just fine) ΚΑΤΩ Η ΣΥΓΚΥΒΕΡΝΗΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΔΟΤΩΝ!!! ΦΕΚ,ΚΚΕ,ΚΝΕ,ΚΟΜΜΟΥΝΙΣΜΟΣ,ΣΥΡΙΖΑ,ΠΑΣΟΚ,ΝΕΑ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ,ΕΓΚΛΗΜΑΤΑ,ΔΑΠ-ΝΔΦΚ, MACEDONIA,ΣΥΜΜΟΡΙΤΟΠΟΛΕΜΟΣ,ΠΡΟΣΦΟΡΕΣ,ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ,ΕΝΟΠΛΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ,ΣΤΡΑΤΟΣ, ΑΕΡΟΠΟΡΙΑ,ΑΣΤΥΝΟΜΙΑ,ΔΗΜΑΡΧΕΙΟ,ΝΟΜΑΡΧΙΑ,ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ,ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ,ΔΗΜΟΣ,LIFO,ΛΑΡΙΣΑ, ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ,ΕΚΚΛΗΣΙΑ,ΟΝΝΕΔ,ΜΟΝΗ,ΠΑΤΡΙΑΡΧΕΙΟ,ΜΕΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ,ΙΑΤΡΙΚΗ,ΟΛΜΕ,ΑΕΚ,ΠΑΟΚ,ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΑ,ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ,ΔΙΚΗΓΟΡΙΚΟΣ,ΕΠΙΠΛΟ, ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΓΡΑΦΙΚΟΣ,ΕΛΛΗΝΙΚΑ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ,ΝΕΟΛΑΙΑ,ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ,ΙΣΤΟΡΙΑ,ΙΣΤΟΡΙΚΑ,ΑΥΓΗ,ΤΑ ΝΕΑ,ΕΘΝΟΣ,ΣΟΣΙΑΛΙΣΜΟΣ,LEFT,ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ,ΚΟΚΚΙΝΟ,ATHENS VOICE,ΧΡΗΜΑ,ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ,ΕΝΕΡΓΕΙΑ, ΡΑΤΣΙΣΜΟΣ,ΠΡΟΣΦΥΓΕΣ,GREECE,ΚΟΣΜΟΣ,ΜΑΓΕΙΡΙΚΗ,ΣΥΝΤΑΓΕΣ,ΕΛΛΗΝΙΣΜΟΣ,ΕΛΛΑΔΑ, ΕΜΦΥΛΙΟΣ,ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ,ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ,ΡΑΔΙΟΦΩΝΟ,ΓΥΜΝΑΣΤΙΚΗ,ΑΓΡΟΤΙΚΗ,ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ, ΜΥΤΙΛΗΝΗ,ΧΙΟΣ,ΣΑΜΟΣ,ΠΑΤΡΙΔΑ,ΒΙΒΛΙΟ,ΕΡΕΥΝΑ,ΠΟΛΙΤΙΚΗ,ΚΥΝΗΓΕΤΙΚΑ,ΚΥΝΗΓΙ,ΘΡΙΛΕΡ, ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ,ΤΕΥΧΟΣ,ΜΥΘΙΣΤΟΡΗΜΑ,ΑΔΩΝΙΣ ΓΕΩΡΓΙΑΔΗΣ,GEORGIADIS,ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΕΣ ΙΣΤΟΡΙΕΣ, ΑΣΤΥΝΟΜΙΚΑ,ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ,ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ,ΙΚΕΑ,ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ,ΑΤΤΙΚΗ,ΘΡΑΚΗ,ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ,ΠΑΤΡΑ, ΙΟΝΙΟ,ΚΕΡΚΥΡΑ,ΚΩΣ,ΡΟΔΟΣ,ΚΑΒΑΛΑ,ΜΟΔΑ,ΔΡΑΜΑ,ΣΕΡΡΕΣ,ΕΥΡΥΤΑΝΙΑ,ΠΑΡΓΑ,ΚΕΦΑΛΟΝΙΑ, ΙΩΑΝΝΙΝΑ,ΛΕΥΚΑΔΑ,ΣΠΑΡΤΗ,ΠΑΞΟΙ
MACEDONIA is GREECE and will always be GREECE- (if they are desperate to steal a name, Monkeydonkeys suits them just fine)
ΚΑΤΩ Η ΣΥΓΚΥΒΕΡΝΗΣΗ ΤΩΝ ΠΡΟΔΟΤΩΝ!!!
ΦΕΚ,ΚΚΕ,ΚΝΕ,ΚΟΜΜΟΥΝΙΣΜΟΣ,ΣΥΡΙΖΑ,ΠΑΣΟΚ,ΝΕΑ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ,ΕΓΚΛΗΜΑΤΑ,ΔΑΠ-ΝΔΦΚ, MACEDONIA,ΣΥΜΜΟΡΙΤΟΠΟΛΕΜΟΣ,ΠΡΟΣΦΟΡΕΣ,ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ,ΕΝΟΠΛΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ,ΣΤΡΑΤΟΣ, ΑΕΡΟΠΟΡΙΑ,ΑΣΤΥΝΟΜΙΑ,ΔΗΜΑΡΧΕΙΟ,ΝΟΜΑΡΧΙΑ,ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ,ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ,ΔΗΜΟΣ,LIFO,ΛΑΡΙΣΑ, ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ,ΕΚΚΛΗΣΙΑ,ΟΝΝΕΔ,ΜΟΝΗ,ΠΑΤΡΙΑΡΧΕΙΟ,ΜΕΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ,ΙΑΤΡΙΚΗ,ΟΛΜΕ,ΑΕΚ,ΠΑΟΚ,ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΑ,ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ,ΔΙΚΗΓΟΡΙΚΟΣ,ΕΠΙΠΛΟ, ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΓΡΑΦΙΚΟΣ,ΕΛΛΗΝΙΚΑ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ,ΝΕΟΛΑΙΑ,ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ,ΙΣΤΟΡΙΑ,ΙΣΤΟΡΙΚΑ,ΑΥΓΗ,ΤΑ ΝΕΑ,ΕΘΝΟΣ,ΣΟΣΙΑΛΙΣΜΟΣ,LEFT,ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ,ΚΟΚΚΙΝΟ,ATHENS VOICE,ΧΡΗΜΑ,ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ,ΕΝΕΡΓΕΙΑ, ΡΑΤΣΙΣΜΟΣ,ΠΡΟΣΦΥΓΕΣ,GREECE,ΚΟΣΜΟΣ,ΜΑΓΕΙΡΙΚΗ,ΣΥΝΤΑΓΕΣ,ΕΛΛΗΝΙΣΜΟΣ,ΕΛΛΑΔΑ, ΕΜΦΥΛΙΟΣ,ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ,ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ,ΡΑΔΙΟΦΩΝΟ,ΓΥΜΝΑΣΤΙΚΗ,ΑΓΡΟΤΙΚΗ,ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ, ΜΥΤΙΛΗΝΗ,ΧΙΟΣ,ΣΑΜΟΣ,ΠΑΤΡΙΔΑ,ΒΙΒΛΙΟ,ΕΡΕΥΝΑ,ΠΟΛΙΤΙΚΗ,ΚΥΝΗΓΕΤΙΚΑ,ΚΥΝΗΓΙ,ΘΡΙΛΕΡ, ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ,ΤΕΥΧΟΣ,ΜΥΘΙΣΤΟΡΗΜΑ,ΑΔΩΝΙΣ ΓΕΩΡΓΙΑΔΗΣ,GEORGIADIS,ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΕΣ ΙΣΤΟΡΙΕΣ, ΑΣΤΥΝΟΜΙΚΑ,ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ,ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ,ΙΚΕΑ,ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ,ΑΤΤΙΚΗ,ΘΡΑΚΗ,ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ,ΠΑΤΡΑ, ΙΟΝΙΟ,ΚΕΡΚΥΡΑ,ΚΩΣ,ΡΟΔΟΣ,ΚΑΒΑΛΑ,ΜΟΔΑ,ΔΡΑΜΑ,ΣΕΡΡΕΣ,ΕΥΡΥΤΑΝΙΑ,ΠΑΡΓΑ,ΚΕΦΑΛΟΝΙΑ, ΙΩΑΝΝΙΝΑ,ΛΕΥΚΑΔΑ,ΣΠΑΡΤΗ,ΠΑΞΟΙ
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
THE CONICS, BOOK <strong>II</strong>I 153<br />
Similarly R'M 2 : JM' = 2 AR'F'M' : A JFM',<br />
whence R'J . JV' : R'M 2 = P/P'P' : A R'F'M'.<br />
But iTilf' 2 : OQ = 2 AR'F'M' : A<br />
therefore, ea; aequali, RJ . Jr' : OQ<br />
OQE<br />
;<br />
= 2 FJRF' : A OQE.<br />
It follows, since PJE'P' = JU'UR, and AOP2 7 = AOQE,<br />
that iU . JV :<br />
or JBJT . Jr : EV<br />
OP = 2 E'J" . Jr' : OQ<br />
.<br />
JV = OP 2 : OQ<br />
2 ,<br />
2 .<br />
154 APOLLONIUS OF PERGA<br />
The general propositions containing the harmonic properties<br />
<strong>of</strong> the pole and polar <strong>of</strong> a conic are <strong>II</strong>I. 37-40, which prove<br />
that in any conic, if TQ, Tq be tangents, and if Qq the chord<br />
<strong>of</strong> contact be bisected in V, then<br />
(1) if any straight line through T meet the conic in R', R and<br />
TB! = RI : IR' ;<br />
Qq in I, then (Fig. 1) RT :<br />
If we had taken chords Ri\, P'r/ parallel respectively <strong>to</strong><br />
OQ, OP and intersecting in I, an internal or external point,<br />
we should have in like manner<br />
RI .<br />
Ir t<br />
: RI<br />
.<br />
Ir( = OQ 2 : OP<br />
2 .<br />
t<br />
u<br />
As a particular case, if PP r<br />
be a diameter, and Rr, Rr' be<br />
chords parallel respectively <strong>to</strong> the tangent at P and the<br />
diameter PP' and intersecting in /, then (as is separately<br />
proved)<br />
RI.Ir:RI.Ir' = p:PP'.<br />
The corresponding results are proved in the cases where certain<br />
<strong>of</strong> the points lie on the conjugate hyperbola.<br />
The six following propositions about the segments <strong>of</strong> intersecting<br />
chords (<strong>II</strong>I. 24-9) refer <strong>to</strong> two chords in conjugate<br />
hyperbolas or in an ellipse drawn parallel respectively <strong>to</strong> two<br />
conjugate diameters PP', DD' ', and the results in modern form<br />
are perhaps worth quoting. If Rr, Rr' be two chords so<br />
drawn and intersecting in 0, then<br />
(2) if any straight line through Fmeet the conic in R, R' and<br />
the parallel through T <strong>to</strong> Qq in 0, then (Fig. 2)<br />
R0 :<br />
OR = RV: VR.<br />
(a)<br />
in the conjugate hyperbolas<br />
RO.Or RO . Or' _<br />
CP ± l CD ~ 2 2 '<br />
and (RO 2 + Or 2 (RO 2 )<br />
+ Or' 2 : )<br />
= CP 2 : CD<br />
2 ;<br />
(b)<br />
in the ellipse<br />
Fig. 2.<br />
R0 2 + 0r' 2 OP + _ 2 ' ~CW~ " 4 *<br />
R0 2 + Or 2<br />
The above figures represent theorem (1)<br />
theorem (2) for the ellipse.<br />
for the parabola and<br />
4