Decaimiento a tres cuerpos en Teor´ıas ... - Roberto Lineros

CAPÍTULO 2. DECAIMIENTO A 3 CUERPOS
donde
q1 = M − E1 > 0, (2.14)
q2 = M − E2 > 0, (2.15)
N 2 = 1 2 2
M + m3 − m
2
2 1 − m 2 2 > 0, (2.16)
Con esto último, la cinemática del decaimiento está descrita de manera satisfactoria, ya
que basta integrar en p1(E1) y p2(E2) para conocer la tasa de decaimiento.
2.2.1. Cotas para los momenta
En la práctica no es una tarea trivial Calcular el ancho de decaimiento (Γ), ya que
a priori p1 y p2 pueden ir de 0 a infinito. La idea es acotar el espacio de momenta para
integrar lo justo y necesario. El parámetro x0 es el que mantiene válida la conservación
de la energía. Además, restringe el espacio de momenta a una sección:
−1 ≤ x0 ≤ 1 ⇒ pi min ≤ pi ≤ pi max
(2.17)
Tomando como cota x0 = 1 y con p1 dado, se puede encontrar que la conservación
de la energía se puede reducir a una ecuación cuadrática para p2 cuya solución tiene la
forma:
donde los términos A, B y C son funciones de p1 :
p ± 2 = −B ± √ B2 − 4AC
, (2.18)
2A
A(p1) = p 2 1 − q2
1 , (2.19)
B(p1) = −2p1 Mq1 − N 2 , (2.20)
C(p1) = (M − m2)q1 − N 2 (M + m2)q1 − N 2 , (2.21)
Al imponerse x0 = 1, entonces las 2 soluciones para p2 equivalen a una con x0 = 1 y
a otra solución con x0 = −1 que se manifiesta como p2 ≤ 0.
Las soluciones a la ecuación cuadrática establecen los límites de integración para p2
con un p1 dado (figura 2.2.1).
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mín |p + 2 |, |p−2 | ≤ p2 ≤ máx |p + 2 |, |p−2 |
mín E + 2 , E−
2 ≤ E2 ≤ máx E + 2 , E−
2
(2.22)