Unidad I (Documento en revisiÃ³n v-1.0) I. CONFIABILIDAD. 1.1 ...

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Unidad I (Documento en revisión v-1.0) Markov describen las transiciones probabilísticas desde los estados iniciales hasta los estados finales. Las probabilidades de transición deben obedecer las siguientes reglas: 1. La probabilidad de transición de un estado a otro en el tiempo ∆t es Z(t)∆t. Z(t) es el hazard asociado con dos estados en particular. Si todos los Z(t) son constantes, Z i (t)=λ i y el modelo se llama homogéneo. Si cualquier Z(t) está en función de t, el modelo es llamado no homogéneo. 2. La probabilidad de que suceda más de una transición en el tiempo ∆t es infinitesimal, por lo que se desprecia. Para el sistema de 1 bloque: P P S0 S1 ( t + ∆t) = [ 1− Z( t) ∆t] PS0 () t ( t + ∆t) = [ Z( t) ∆t] P () t + P () t S0 S1 Esto se puede resumir en una matriz de transiciones: Estados finales Estados iniciales S 0 S 1 S 0 1-Z(t)∆t Z(t)∆t S 1 0 1 La matriz tiene la propiedad de que la suma de cada renglón debe ser la unidad. P P S0 S1 dPS0 dt dPS1 dt ( t + ∆t) − P ( t) ( t + ∆t) − P ( t) () t () t ∆t ∆t + Z = Z S0 S1 Z () t P () t () t P () t () t P () t = 0 ( 7) S0 () t P () t ( 8) S0 = −Z = S0 S0 _____________________________________________________________________________ INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA Elaborado por: M.C. José Rivera Mejía Pag.(38)
Unidad I (Documento en revisión v-1.0) Una forma fácil de caracterizar el modelo de Markov es de una manera gráfica, compuesto de nodos que representan los estados del sistema y las ramas se etiquetan con probabilidades de transición. 1-Z(t)∆(t) 1 P S0 Z(t)∆(t) P S1 Podemos utilizar un algoritmo simple para escribir las ecuaciones (6) y (7) por inspección de la gráfica de nodos y ramas del sistema: La derivada de la probabilidad de cualquier nodo (estado) es igual a la suma de las transiciones que llegan al nodo. Cualquier factor de ganancia unitaria del mismo lazo se hace cero. Ejemplo: Sistema de un bloque Si resolvemos las ecuaciones (6) y (7) por medio de la transformada de Laplace: sP P S S 0 df dt () t s = sF(s) − f () 0 s f() t = F( s) dPS0 () t = −Z() t dt PS0 () t dPS0 () t + Z() t dt = 0 PS0 () t 0() s − PS 0(0) + zPS 0() s ()( s s + z) = P () 0 = 1 () s S 0 1 = s z P S 0 + = 0 _____________________________________________________________________________ INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHIHUAHUA Elaborado por: M.C. José Rivera Mejía Pag.(39)
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