Ciencias humanas, sociales y económicas - Universidad de San ...

Álvaro Romero Acero - Alejandro Marín Cano - Jovani Alberto Jiménez BuilesLa representación de este modelo no lineal,específicamente las ecuaciones referentes al cambiode las posiciones de los ángulos θ y α con respectoal tiempo (t), se simplifican tomando un comúndenominador (den) expresado en la ecuación 1.En la ecuación 4 se hace referencia a la relacióndinámica del torque de salida en el motor dc, en lacual la variable V mes el voltaje de alimentación delmotor dc necesario para ponerse en movimiento.den=(j p+m pl p2)(j eq+m pr 2 cos 2 (θ(t)))-M p2r 2 L P2cos 2 (θ(t)) Ec. 1d 2dt θ(t)= (j +m l 2) τp p p output2 den(j p+m pl p2)m pr 2 sin(θ(t))d( θ(t) )2_dtden(j p+m pl p2)(m pr 2 l psin(θ(t)) cos(α(t)))d( θ(t) )( d α(t) )_dt dtdend(j ( θ(t) ) dp+m pl p2)(m pr 2 l 2pcos 2 (θ(t)) sin(α(t)) cos(θ(t)))α(t)+dt dtden--+(m p2grl p2cos(θ(t)) sin(α(t)) cos(α(t)))dend 2dt α(t)= -m pr l pcos(θ(t) cos(α(t) τ output2 denm 2pr 3 l pcos(θ(t) cos(α(t) sin(α(t)) d θ(t)+dtdenm 2pr 2 l p2cos(θ(t) cos 2 d(α(t) sin(θ(t)) ( θ(t) ) ddt dtden(j eq+m pr 2 cos(θ(t)) m pgl psin(α(t))d( θ(t) ) ddt dtdenLinealización-(j eq+m pr 2 cos(θ(t)) m pgl psin(α(t))den( ))dK t(V m– K θ(t)mτ dtoutput=R m2( )( )( α(t) )( α(t) )Ec. 2Ec. 3Ec. 4De acuerdo con el modelo del péndulo invertidodescrito por las ecuaciones 1-4, se definen lasvariables de estado mediante ecuación 5, linealmenteindependientes y se obtiene:x 1= θx 2= αx 3= θx 4= αÁngulo horizontal (brazo)Ángulo vertical (péndulo)Velocidad angular (brazo)Velocidad angular (péndulo)Ec. 5Para la linealización del sistema se toma elpunto de operación, (ecuación 6), el cual estádado por la posición del péndulo: α= π; (180 o ) esdecir, cuando la barra del péndulo se encuentreen posición vertical hacia arriba y en equilibrio(Aguilar et al., 2008).x 1= 0x 2= πx 3= 0x 4= 0V m= 0U(x)=V mPor consiguiente, se obtiene la linealizaciónalrededor de un punto de equilibrio expresado enel sistema no lineal en variables de estado (ecuación7) y respectivamente para el ROTPEN en la ecuación8, haciendo uso del script de Matlab. Luego seaplica la matriz jacobiana al sistema no lineal (jacobian)y se evalúa en el punto de operación cadamatriz jacobiana resultante [A=eval(A), B=eval(B),C=eval(C), D=eval(D)]. De esta manera con elcomando [sistema = ss(A,B,C,D)] se obtiene larepresentación matricial del modelo linealizado:matriz A (planta ROTPEN), matriz B (entrada alsistema), matriz C (salida del sistema) y matriz D(relaciona las entradas y salidas del sistema).ddtθαθαx = A ∆x + B∆uy = C ∆x + D∆u0 0 1 0 θ=0 0 0 1 α+0 59.07 -1.16 0 θ0 53.18 -0.35 0 αθαθαθ= 1 0 0 0 α0 1 0 0 θ+α0041.3112.35Ec. 6Ec. 7V mEc. 8Analizando el modelo linealizado del pénduloinvertido se pueden apreciar los valores propios[Valores_propios_A=eig(A)] por medio de la matriz(A) de la planta, los cuales nos indican la estabilidaddel sistema (Figura 4). Para este caso tenemoslos resultados de los valores propios del sistemaen los que el primer valor igual a cero nos indicaque es un sistema oscilatorio; pero al verificar elsegundo valor el sistema péndulo invertido esinestable ya que tiene un valor propio positivo(Dorf et al., 2005).0000V m70 × Universidad de San Buenaventura, Cali - Colombia