Ciencias humanas, sociales y económicas - Universidad de San ...

Álvaro Romero Acero - Alejandro Marín Cano - Jovani Alberto Jiménez Buileslineal, el cual tiende a perder el seguimiento de ladinámica más rápidamente que en el sistema lineal;sin embargo, es válido el análisis del sistema linealcon observador en un instante inferior a 0.12 s.Las respuestas de los modelos no lineal y linealcon observador estado y con controlador RLVEen la Figura 14 muestran un comportamientomuy similar para el sistema lineal y no lineal conobservador y control RLVE, de acuerdo con lasrespuestas del sistema x1, x2, con perturbacionesaplicadas en el brazo y el péndulo.Controlador óptimoPara el diseño de un controlador óptimo(Moreno et al., 2003), se deben tener en cuentalas restricciones de comportamiento del sistema.Por ejemplo, el ángulo del péndulo no debe sermuy grande y mantenerse en ángulos pequeñoscon el propósito de lograr el equilibrio deseado.A su vez, el voltaje de alimentación del motordebe tener unos valores en voltios que no superenlos 10V; es decir, que el esfuerzo de control debeestar en esta región (0-10)V, para relacionar estasrestricciones del comportamiento, los cuales sonlos indicadores que se deben tener en cuenta en eldiseño de controladores y el posterior análisis deoptimización para la acción de control (Tabla 2).BrazoPénduloTabla 2Restricciones de comportamiento del ROTPENVoltaje del motorParámetroRestricción|θ(t)| < 30 o|α(t)| < 2 oV m< 10VPara el diseño del controlador LQR se proponedar un peso inicial a la componente (Q 1,1=4.5)y con (R=1); donde la componente Q 1,1hacereferencia al primer elemento de la matriz (Q) y(R=1) al valor único de la matriz (R). Las matrices(A y B) son tomadas del sistema matricial envariables de estado que representan al pénduloinvertido, de esta forma se obtiene los resultados(Figura 15); los cálculos de las ganancias para elcontrolador LQR, se realizan por medio de Matlab:[Koptima,P,raices_optima]=lqr(A,B,Q,R). Enla Figura 15 se pueden observar las raíces óptimas(parte real parte imaginaria), las cuales nos indicansi el sistema es estable si y solo si la parte real esnegativa, como se observa en este caso.Con el fin de obtener nuevos controladoresóptimos se varía la matriz (Q) y el valor de (R)obteniendo así la relación descrita en la Tabla 3que nos permite optimizar la acción de control;es decir, efectuar la menor acción de control anteperturbaciones y ruidos introducidos al sistema,en la cual se determinan los pesos dados para lamatriz (Q), las ganancias óptimas obtenidas y elcomportamiento del sistema real que presentó anteestos controladores LQR.Pesos de lamatriz (Q)(Q 11=4.5)R=1(Q 11=4.5)(Q 33=1)R=1(Q 11=10)(Q 33=1)R=10Tabla 3Análisis del control óptimo LQRComportamiento delGanancias óptimassistema[-2.12 35 -1.07 5.63][-2.12 52 -1.5 8.6][-1 27.1 -0.7 4.3]Tiene una respuestaaceptable frente a perturbacionescon una bajaacción de controlAumenta considerablementela acción decontrol hasta llevarla a lasaturaciónTiene mejor respuestafrente a perturbacionescon una baja acción decontrolFigura 14Sistema con observador de estado y control RLVE: A) no lineal, B) linealAB74 × Universidad de San Buenaventura, Cali - Colombia