Bulletin des sciences mathématiques

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 179
Une vis X choisie au hasard dans l'espace coupe en général le
cylindroïde en trois points P, Q, R. Si elle est perpendiculaire à la
génératrice du point P, on trouve que les deux génératrices des
points Q et R ont des hauteurs égales. Donnons à X cette même
hauteur prise en sens contraire ;
X sera réciproque au cylindroïde.
Les parallèles menées par un point O de l'espace à
toutes les vis
réciproques d'un cylindroïde forment un cône du second ordre
facile à construire. Un corps lihre de se mouvoir autour d'une vis
quelconque du cylindroïde peut être tenu en équilibre par un effort
convenable autour d'une quelconque des vis réciproques.
Les réciproques de ces théorèmes donnent la solution la plus générale
du problème de liberté IV. Par exemple, si un corps est libre
autour de quatre vis,
on peut déterminer un cylindroïde unique
réciproque à ce système; ce cylindroïde fait connaître tout le système
coordonné des vis données. Le corps ne peut être tenu en
équilibre que par un effort autour d'une quelconque des vis du
cylindroïde.
Liberté du degré 111. — Ce cas offre un intérêt spécial, nonseulement
parce que les systèmes direct et réciproque sont du même
ordre, mais encore parce qu'il renferme, comme cas particulier, le
problème du mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe ;
mais l'auteur en réserve l'étude pour un Mémoire à part. 11 se
borne à établir ici que, étant données trois vis quelconques A, B,C,
on peut toujours, par un point donné O, faire passer trois vis
X l5 X 2 , X 3 ,
qui leur soient coordonnées, et trois autres vis 1 1
,Y,,Y S ,
qui leur soient réciproques. Les trièdres X t ,
X s , X 3 et Y l5 Y 2 ,
Y 3
sont polaires l'un de l'autre. Une vis de hauteur donnée p, réciproque
au système A, B, C, est génératrice d'un certain hyperboloïde. Le
second système des génératrices du même hyperboloïde forme l'ensemble
des vis réciproques à A, B, C, ayant — p pour hauteur.
La liberté YI peut être regardée comme réciproque de la liberté
nulle. Dans ce dernier cas, le corps est fixe et peut être tenu en
équilibre par un effort quelconque. Dans le premier cas, le corps
peut tourner autour d'une vis quelconque.
IV. Jliéorèmes généraux. — Quelle que soit la nature des liaisons
cpii restreignent la liberté d'un corps solide, on peut toujours