Bulletin des sciences mathématiques

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BULLETIN DES SCIENCES
grales comprises dans la formule (86), qui deviendront indéterminées,
devront être réduites à leurs valeurs principales.
Si l'on fait, pour abréger,
(87) A=27r(f,-f-f 2 + ...)v
/:ri ".
l'équation (86)
deviendra
/
f{x+y sj-i)dx+sj-i / f{X-hysf=^)d r
= /
f( x +Y\J—i)dx+\j—i / f{x*+y^—i)dy-
L'équation (88) coïncide avec l'une des formules générales que j'ai
données dans le Journal de V Ecole royale Polytechnique et dans
le Bulletin de la Société Philomalhique de novembre 1822. Elle
subsiste non-seulement pour des valeurs réelles, mais encore pour
des valeurs imaginaires de la fonction f[x),
remplacée par deux équations réelles, que l'on
dans les deux membres :
et peut toujours être
obtient en égalant
i° les parties réelles ;
2 les coefficients de
\J- — 1. Ajoutons que, pour éviter toute incertitude sur la valeur
des notations employées dans le calcul, il faut, dans l'équation
(88) ;
choisir la fonctionna:) de telle manière que l'expression
f\x-r- y — \] 1) conserve une valeur unique et reste complètement
déterminée pour toutes les valeurs de x et de y comprises entre
les limites des intégrations. Cette condition peut être remplie dans
le cas même où f{x -+- y \J
—
1
J renfermerait des logarithmes ou
des puissances irrationnelles de quantités variables, c'est-à-dire des
expressions de la forme
(89) (h + v y/^K l{u + v\J—i),
u désignant une quantité réelle, et m, v deux fonctions réelles et
déterminées des variables x, y. Effectivement les expressions (8y)
satisferont à la condition requise, si la quantité u reste positive
pour toutes les valeurs de x et 1 comprises entre les limites des
intégrations, et si l'on adopte les conventions que nous avons admises
dans le
Cours d'Analyse algébrique et dans les précédents
Mémoires. En vertu de ces conventions, la notation arc tang- est
1
° u