Bulletin des sciences mathématiques

2 36 BULLETIN DES SCIENCES
Cette formule donne l'expression de la dérivée définie à indice
quelconque, et renferme comme cas particulier la formule de
Grùnwald.
En appliquant ses formules aux dérivées du produit des deux fonctions,
l'auteur parvient à l'extension de la formule de Leibnitz aux
dérivées du produit.
M. Letnikof examine en particulier le cas où la limite inférieure a
devient infinie, et il établit les conditions auxquelles doit satisfaire
/(a) pour que l'opération indiquée par le symbole [D 7 /*(a)] M
''
soit possible. Il démontre que les dérivées entre les limites oo et x
jouissent des mêmes propriétés que la dérivée précédemment étudiée.
Les deux opérations de dérivation entre les limites a et x
et oo
et x sont liées par la relation
[ifrr];=(-ir {z ~cf - IX» - a)'-'r]:.
où r est une fonction de x = - •
J
z
Pour terminer ce Chapitre, l'auteur examine la question de l'existence
de la fonction complémentaire, c'est-à-dire de la fonction
0(x), telle que l'on ait
[DpQ{x)Y u
= o;
il fait remarquer que de la définition môme de la dérivée définie il
résulte que ce symbole a toujours une valeur déterminée, quel que
soit p \
que, par conséquent, s'il existe une fonction [x) ,
telle que sa
dérivée [D p ]£ soit nulle, il ne s'ensuit pas que l'on puisse ajouter 6 [x)
à une des valeurs de [D~p F (#)],',.
Chapitre III. — applications à l'intégration de quelques équations
différentielles.
M. Letnikof applique la théorie des dérivées à indice quelconque
à l'intégration de l'équation
,
d'y
v , , ,
dr
(a x--±- b 6
x -+- c )
—:—h (a {
x -+- o, ) -i—i- a, y — o,
dx dx
1
connue dans la science par les travaux des plus célèbres géomètres
Œuler, Laplace, Gauss, Jacobi, etc.) dont elle a été l'objet.
Dans l'hypothèse que les racines « et Z» de a x* -h b x +• c = o