Bulletin des sciences mathématiques

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 223
Soit u une fonction réelle des coordonnées rectangles x, j
•,
satisfasse à l'équation aux différentielles partielles
qui
dx- 0) -
Lamé appelle isotherme le faisceau des courbes représentées par
l'équation u = c quand on fait varier le paramètre c.
Si u est une
fonction algébrique des deux variables réelles x et j\ on peut toujours
ajouter à la fonction u une autre fonction w, telle que
w= «H- fi devienne une fonction analytique w =zf(z) de la variable
complexe z\ et cette fonction donne lieu à une représentation
conforme du faisceau des courbes sur un faisceau de droites
parallèles u = c dans le plan de la grandeur complexe w. L'étude
de cette fonction w =f(z), ou plutôt de son inverse z = a>(w),
conduit M. Schwarz à ce théorème :
« Le faisceau des courbes orthogonales
d'un faisceau d'isothermes
algébriques planes est toujours
lui-môme un faisceau d'isothermes algébriques. »
Enfin la
fonction complexe w—f{z), dont la partie réelle a une valeur
constante pour le contour de chaque courbe d'un faisceau, formé de
courbes isothermes algébriques et
complexe z, est :
situé dans le plan de la variable
I. Une fonction algébrique de z
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II. Ou, si [x désigne un nombre convenablement choisi, la
quantité ptw, et par suite aussi pwi est le logarithme d'une fonction
algébrique de z;
III. Ou [xw est une intégrale elliptique de première espèce, sous
la
forme normale de Jacobi, à module réel, et dont la limite supérieure
est une fonction algébrique de z.
Soh^jcke (L.). — Les systèmes ponctuels réguliers d'étendue
illimitée dans le plan. (55 p.)
Imaginons un système de points séparés dans un plan;
joignons
chaque point à tous les autres par des lignes droites. Il peut arriver
que ces faisceaux de droites, inégaux en général, deviennent égaux,
ou symétriques pour tous les points, ce qui indique un arrangement
régulier des points. Un système de points d'étendue illimitée
s'appelle régulier, si
les faisceaux issus de tous ses points sont ou
égaux ou symétriques. (L'égalité est supposée permettre une su-
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